Persamaan Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan berjari-jari r.


Dari gambar, diperoleh persamaan : OP = r 

 
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di O dan berjari-jari r , yaitu : 

 
Suatu titik A dikatakan : 
a. Terletak pada lingkaran   
b. Terletak di dalam lingkaran  
c. Terletak di luar lingkaran  

B. Persamaan Lingkaran yang berpusat di P (a, b) dan berjari-jari r. 


Gambar di atas adalah sebuah lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r. Titik Q (x, y) adalah sebuah titik pada lingkaran. 
Dari gambar diperoleh persamaan : PQ = r 

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di P (a, b) dan berjari-jari r, yaitu :
Suatu titik A dikatakan :
a. Terletak pada lingkaran  

b. Terletak di dalam lingkaran  

c. Terletak di luar lingkaran 


C. Persamaan Umum Lingkaran 
Bila kita menjabarkan persamaan : 

Dan mengatur kembali suku-sukunya, maka akan diperoleh :


Persamaan terakhir dapat pula dinyatakan dengan :

Dengan :
 
 

Persamaan (3) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di dan berjari-jari  
D. Persamaan garis singgung lingkaran
1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik lingkaran 
* Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik pada lingkaran ditentukan dengan rumus  

* Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran 
dinyatakan dengan rumus :  


*Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran  dinyatakan dengan rumus :  

2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui. 

* Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran  , maka persamaan garis singgungnya adalah : * Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran  
Maka persamaan garis singgungnya :  

3. Garis singgung melalui sebuah titik diluar lingkaran 
Dari suatu titik P yang terletak di luar garis lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung. 


Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P terletak di luar garis lingkaran adalah : 


Langkah menentukan gradien ( m ) untuk persamaan (10) adalah sebagai berikut : 
1. Substitusikan persamaan ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat. 
2. Dengan mengambil nilai D=0 , maka dipetoleh nilai m.

Read More

Transformasi Geometri

Transformasi T adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama.

Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi (Perkalian) 

1. Translasi

Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. 
Jika translasi  memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk : 

 
Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi  
Jawab : 

A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)
A’ = (0, 10)

2.  Refleksi
a. Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

b. Pencerminan Terhadap sumbu y 

Matriks Pencerminan:

c. Pencerminan terhadap garis y = x 

Matriks Pencerminan 

d. Pencerminan terhadap garis y = -x 

Matriks Pencerminan:

e. Pencerminan terhadap garis x = h 

Matriks Pencerminan: 
Sehingga:

f. Pencerminan terhadap garis y=k 

Matriks Pencerminan : 
Sehingga:

g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)

Matriks Pencerminan : 
Sehingga:

h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q 

Contoh :
Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi 
Jawab :
Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh translasi  adalah (x’, y’) sehingga ditulis 
Atau
x’ = x + 3 x = x’- 3 ..... (1)
y’ = y – 2  y = y’ + 2 ......(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :
y = 2x – 5
y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5
y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2
y’ = 2x’ – 13
Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi adalah y = 2x – 13 .

3. Rotasi

rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
½ p	é0  -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
p	é-1  0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p	é0  -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
q	écosq -sinq ù ësinq  cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1

SIFAT-SIFAT

1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
   
2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
   Catatan: 
   Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
   

 4. Dilatasi 

1. Dilatasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
   (0,k)	ék  0ù ë0  kû	(x,y)®(kx,ky)	F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

   
   Ket.:
   
   (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
   Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OAb. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan Ac. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
   
   
2. TRANSFORMASI LINIER
   
   Ditentukan oleh matriks éa  bù
                                   ëc  dû
   é x' ù = é a b ù é x ù
   ë y' û   ë c d û ë y û
   
   é x ù =    1        é a -b ù é x' ù
   ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û  
   

   Perubahan Titik	Perubahan Fungsi
   (x,y)®(ax+by, cx+dy)	F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û

   
   Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.

Read More