Transformasi Geometri

Transformasi T adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama.

Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi (Perkalian) 

1. Translasi

Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. 
Jika translasi  memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk : 

 
Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi  
Jawab : 

A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)
A’ = (0, 10)

2.  Refleksi
a. Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

b. Pencerminan Terhadap sumbu y 

Matriks Pencerminan:

c. Pencerminan terhadap garis y = x 

Matriks Pencerminan 

d. Pencerminan terhadap garis y = -x 

Matriks Pencerminan:

e. Pencerminan terhadap garis x = h 

Matriks Pencerminan: 
Sehingga:

f. Pencerminan terhadap garis y=k 

Matriks Pencerminan : 
Sehingga:

g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)

Matriks Pencerminan : 
Sehingga:

h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q 

Contoh :
Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi 
Jawab :
Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh translasi  adalah (x’, y’) sehingga ditulis 
Atau
x’ = x + 3 x = x’- 3 ..... (1)
y’ = y – 2  y = y’ + 2 ......(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :
y = 2x – 5
y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5
y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2
y’ = 2x’ – 13
Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi adalah y = 2x – 13 .

3. Rotasi

rotasi	matriks	perubahan titik	perubahan fungsi
½ p	é0  -1ù ë1 -0 û	(x,y) ® (-y,x)	F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
p	é-1  0ù ë1 -1 û	(x,y) ® (-x,-y)	F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p	é0  -1ù ë-1 0 û	(x,y) ® (y,-x)	F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
q	écosq -sinq ù ësinq  cosq û	(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1

SIFAT-SIFAT

1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
   
2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
   Catatan: 
   Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.
   

 4. Dilatasi 

1. Dilatasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
   (0,k)	ék  0ù ë0  kû	(x,y)®(kx,ky)	F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

   
   Ket.:
   
   (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.
   Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OAb. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan Ac. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO
   
   
2. TRANSFORMASI LINIER
   
   Ditentukan oleh matriks éa  bù
                                   ëc  dû
   é x' ù = é a b ù é x ù
   ë y' û   ë c d û ë y û
   
   é x ù =    1        é a -b ù é x' ù
   ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û  
   

   Perubahan Titik	Perubahan Fungsi
   (x,y)®(ax+by, cx+dy)	F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û

   
   Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.