1.Konjektur Goldbach
Konjekture Goldbach yang belum juga terpecahkan
Konjekture Goldbach mengatakan bahwa :
Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 bisa dituliskan sebagai jumlah dua bilangan prima.
Rumus untuk bilangan prima sendiri, sampai sekarang belum ada yang menemukan. Konjekture goldbach juga sampai sekarang belum ada yang membuktikan.
Apakah pembuktian konjekture ini membutuhkan rumus untuk bilangan prima?
Menurut kami pembuktian ini memang membutuhkan suatu rumus untuk bilangan prima. Mengapa, karena untuk bilangan prima dengan angka yang sangat besar. kita belum bisa memastikan. Bisa juga konjekture ini digagalkan dengan suatu contoh penyangkal. Tentunya dengan alasan bahwa bilangan prima untuk bilangan yang sangat besar, akan semakin jarang kita temui.
Hadiah yang disediakan untuk seseorang yang bisa membuktikan konjekture ini juga sangatlah besar. Ini adalah tantangan besar bagi kita sebagai generasi bangsa untuk masa depan.
Bunyi konjekture Goldbach yang pertama yaitu
“Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bilangan prima”
Konjekture ini sampai sekarang belum ada yang bisa membuktikan atau memberi satu kasus penyangkal. Hadiah yang disediakan untuk orang yang bisa membuktikan konjekture ini adalah sangat besar.
Secara garis besar, bilangan memang bisa kita tuliskan ke dalam penjumlahan bilangan prima. Bebrapa yang awal adalah sebagai berikut :
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3
10 = 5 + 5
12 = 7 + 5
14 = 7 + 7 = 11 + 3
16 = 11 + 5 = 13 + 3
18 = 11 + 7 = 13 + 5
20 = 13 + 7 = 17 + 3
22 = 19 + 3 = 17 + 5
24 = 19 + 5
26 = 19 + 7 = 23 + 3
…
Dan seterusnya…
Konjekture Goldbach yang kedua mengatakan bahwa :
“Setiap bilangan ganjil yang lebih besar dari 5 dapat dituliskan sebagai penjumlahan tiga bilangan prima”
Konjekture ini dikemukakan oleh Goldbach. Yang sebelumnya telah mengeluarkan pernyataan/konjekture yang pertama yaitu setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bilangan prima.
Hadiah yang sangat besar diberikan kepada orang yang bisa memecahkan konjekture Goldbach ini. Tertarik untuk membuktikannya, silahkan saja…
Ini adalah beberapa bilangan ganjil yang pertama yang lebih besar dari 5 yang dituliskan sebagai penjumlahan tiga bialngan prima.
7 = 2 + 2 + 3
9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3
11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5
13 = 3 + 5 + 5 = 3 + 3 + 7
15 = 3 + 5 + 7
17 = 13 + 2 + 2 = 5 + 5 + 7
19 = 13 + 3 + 3 = 5 + 7 + 7
21 = 7 + 7 + 7 = 17 + 2 + 2
23 = 13 + 7 + 3
25 = 13 + 7 + 5
27 = 13 + 7 + 7
29 = 23 + 3 + 3
31 = 23 + 3 + 5
…
Cobalah untuk membuktikannya. Siapa yang tertarik untuk membuktikannya. Silahkan…
Mungkin nantinya bisa juga ditemukan satu angka ganjil yang tidak bisa dinyatakan sebagai jumlah 3 bilangan prima. Kita belum tahu karena hal ini masih merupakan suatu konjekture.
Konjektur Goldbach pertama kali disebut oleh Christian Goldbach dalam suratnya kepada Euler pada tahun 1742. Dalam suratnya, Goldbach melaporkan bahwa bilangan genap lebih dari atau sama dengan 4 bisa ditulis sebagai hasil penjumlahan dua buah bilangan prima, akan tetapi dia tidak berhasil membuktikan kebenaran daripada konjekturnya tersebut
Konjenktur Goldbach adalah salah satu persoalan yang belum terpecahkan dalam teori angka dan bahkan dalam matematika secara keseluruhan.
Konjektur Goldbach berbunyi:
“ Setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima ”
Contoh:
4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 512 = 5 + 714 = 3 + 11 = 7 + 716 = 13 + 318 = 13 + 5 = 11 + 720 = 17 + 3 = 13 + 722 = 19 + 3 = 17 + 5 = 11 + 11yang ganjil harus dipikirkan dst.
2.konjektur collatz
Pada tahun 1937, matematikawan Jerman, Lothar Collatz mengusulkan sebuah konjektur (dugaan yang diyakini benar, namun belum terbuktikan secara matematis) sebagai berikut:
“Ambil sebarang bilangan asli n. Bila n genap, bagi dua (n/2). Bila n ganjil, kalikan tiga lalu tambahkan satu (3n + 1). Lakukan proses tersebut secara berulang.” Dugaannya, proses tersebut selalu berakhir dengan 1, dan dikenal sebagai “konjektur Collatz”, atau “masalah 3n + 1”.
Misal, n = 5 -> 5, 16, 8, 4, 2, 1. n = 6 -> 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Setelah berusia 74 tahun, pada pertengahan 2011, matematikawan dari Univ. Hamburg - Jerman, Gerhard Opfer, mengklaim telah berhasil membuktikan konjektur Collatz. Preprint jurnalnya dapat dilihat di http://preprint.math.uni-hamburg.de/public/papers/hbam/hbam2011-09.pdf
Sementara menunggu verifikasi apakah Opfer benar-benar telah membuktikannya secara matematis, berikut kode Mathematica yang saya buat untuk mengeksplorasi barisan Collatz:
collatz[n_] := NestWhileList[If[EvenQ[#], #/2, 3 # + 1] &, n, # != 1 &] /; IntegerQ[n] && n >= 1
collatz[9] -> {9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
Fungsi berikut menghasilkan posisi indeks serta panjang maksimum barisan Collatz untuk n buah barisan Collatz pertama.
maxCollatz[n_]:= Module[{idxcoll = MapIndexed[{First@#2, Length@#1} &, collatz /@ Range[n]]},
Select[idxcoll, #[[2]] == Max@(Last /@ idxcoll) &]]
maxCollatz[100] -> {{97, 119}}
Artinya, dari 100 buah barisan Collatz pertama(collatz[1] s/d collatz[100]), barisan Collatz dengan n = 97 menghasilkan iterasi maksimum dengan panjang barisan 119. Cobalah run collatz[97] untuk menunjukkan hasil yang dimaksud.
Bila benar Opfer berhasil memecahkan misteri konjektur Collatz, ia pun akan berhak atas hadiah £ 1000 (Rp 13.78 miliar) yang dijanjikan Thwaites pada tahun 1996.
Kutha Ardana – MathIPB, 24 Juni 2011
Ini adalah suatu permasalahan matematika sejak tahun 1930. Sebuah konjekture yang sampai saat ini belum ada buktinya. Komputer telah melakukannya sampai bilangan Dan semua bilangan di bawah bilangan tersebut bernilai akhir 1. Langkah dan aturannya sebagai berikut
Aturan :
Jika bilangan tersebut genap, maka bagi dengan 2.
Jika bilangan itu ganjil, maka kalikan dengan 3 kemudian tambah dengan 1.
Lakukan langkah ini berulang-ulang.
Misalnya kita coba untuk bilangan 10.
Karena 10 adalah bilangan genap, maka bagi dengan 2, hasilnya yaitu 5
5 adalah bilangan ganjil, maka kalikan dengan 3 dan tambah dengan 1, hasilnya adalah 16
16 adalah genap, maka 16 dibagi 2 sama dengan 4
4 adalah genap maka 4 dibagi 2 adalah 2
2 adalah genap maka 2 dibagi 2 adalah 1
Hasil akhir adalah 1. Misalnya 1 kita lanjutkan, maka 1 adalah bilangan ganjil. Kita kalikan 3 dan tambah 1 hasilnya adalah 4. 4 adalah genap maka 4 dibagi 2 adalah 2. Dan 2 adalah genap maka 2 dibagi 2 adalah 1. Hasilnya kembali lagi ke angka 1.
Coba dengan bilangan yang lain!
Ingat aturannya.
Pada tahun 1937 Lothar Collatz mengajukan problem yang terkenal dengan nama Collatz’s Problem. Secara umum, Lothar Collatz mengajukan permasalahan pada bilangan bulat sbb :
1. Ambil sembarang bilangan bulat positif.
2. Jika bilangan tersebut genap bagilah dengan 2.
3. Jika ganjil, kalikan 3 lalu tambahkan 1.
4. Dari bilangan baru yang terbentuk, ulangi langkah 2 s/d 3.
5. Jika proses di atas diteruskan, akan selalu diperoleh bilangan 1
Algoritma/langkah pengerjaan di atas terkenal dengan sebutan HOTPO (Half Or Triple Plus One).
Untuk m ∈ Bulat, didefinisikan fungsi
Contoh perhitungan berulang (iterasi) pada bilangan bulat :
- m = 1 akan menghasilkan {1, 4, 2, 1}
- m = 2 akan menghasilkan { 2, 1}.
- m = 3 menghasilkan {3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
- m = 6 menghasikan {6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
- m = 7 menghasilkan {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
- m = 9 menghasilkan {9, 28, 14, 7, 22, 11, 32, 16, 8, 4, 2 1}
- m = 12 menghasilkan {12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
- m = 15 menghasilkan {15, 31, 63, 190, 95, 286, 143, 430, 215, 646, ………., 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}
- m = 27 menghasilkan 111 proses iterasi, nilai akan naik menjadi lebih dari 9.000 sebelum akhirnya turun menjadi 1.
{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }
(Coba buat program komputer untuk iterasi bilangan bulat m).
Banyak orang memberi nama berbeda untuk problem ini yaitu “Pemetaan 3x+1” , “Algoritma Hasse”, “Problem Kakutani”, “Algoritma Syracuse”, “Konjektur*Thwaites”, dan “Problem Ulam”. Sampai saat ini berbagai usaha dan studi penelitian dilakukan, Collatz problem ini masih belum dapat dibuktikan kebenaran matematikanya sehingga belum diterima sebagai sebuah teorema.
Catatan :
Konjektur adalah sebuah pernyataan yang dipradugakan sebagai hal yang nyata, benar, atau asli, sebagian besarnya didasarkan pada landasan inkonklusif (tanpa simpulan). Di dalam matematika, konjektur adalah proposisi yang “tidak terbuktikan” atau “tidak memerlukan bukti” atau juga teorema yang “dianggap pasti benar adanya” sampai terbukti kebenarannya.
3.Konjektur Poincare
Dalam matematika, Konjektur Poincaré (Perancis, diucapkan: [pwɛkaʁe]) adalah teorema tentang karakterisasi tiga dimensi bola di antara tiga dimensi manifold. Mulanya teorema ini disampaikan oleh Henri Poincaré, yaitu klaim menyangkut ruang yang secara lokal seperti ruang tiga dimensi biasa, tetapi terhubung, ukuran tertentu terbatas, dan tidak memiliki batas apa pun (yang 3-manifold tertutup). Konjektur Poincaré menyatakan bahwa jika ada ruang tambahan sehingga setiap loop di ruang dapat terus diperketat ke titik, itu hanya bola tiga dimensi. Hasil analog telah dikenal di dimensi yang lebih tinggi untuk beberapa waktu.
Setelah hampir seabad berusaha dipecahkan oleh para matematikawan, Grigori Perelman membuat sketsa bukti konjektur dalam serangkaian makalah pada tahun 2002 dan 2003. Bukti mengikuti program Richard Hamilton. Beberapa tim profil tinggi matematikawan telah sejak memverifikasi kebenaran bukti Perelman.
Konjektur Poincaré, sebelum terbukti, adalah salah satu yang paling penting pertanyaan terbuka di topologi. Ini adalah salah satu dari tujuh Millenium Prize Problems, yang membuat Institut Matematika Clay menawarkan hadiah $ 1.000.000 untuk mereka pertama kali berhasil memberikan solusi yang tepat. Karya Perelman berhasil meninjau konjektur itu dan telah dikonfirmasi pada tahun 2006, membuatnya ditawari Medali Fields, yang ia tolak. Perelman dianugerahi Hadiah Milenium pada 18 Maret, 2010. Konjektur Poincaré adalah yang pertama dipecahkan dalam Masalah Milenium.
Pada awal abad ke-20, Henri Poincaré sedang bekerja di dasar topologi-apa yang kemudian disebut kombinatorial topologi dan kemudian aljabar topologi. Ia sangat tertarik pada apa sifat-sifat topologi yang dicirikan sebuah bola.
Poincaré mengklaim pada 1900 bahwa homologi, alat ciptaannya didasarkan pada karya Enrico Betti, sudah cukup untuk mengetahui apakah sebuah 3-manifold adalah seorang 3-bola. Namun, dalam kertas 1904 ia menggambarkan balik terhadap klaim ini, sebuah ruang yang kini disebut bola homologi Poincaré. Bola Homologi Poincaré merupakan contoh pertama dari sebuah homologi bola, sebuah manifold yang memiliki homologi sama sebagai sebuah bola, yang telah dibangun banyak orang lain. Untuk menetapkan bahwa lingkup Poincaré berbeda dari 3-bola, memperkenalkan Poincaré baru invarian topologi, yang fundamental, dan menunjukkan bahwa bola Poincaré memiliki fundamental keteraturan 120, sedangkan 3-bola memiliki fundamental insignifikan. Dengan cara ini ia dapat menyimpulkan bahwa kedua ruang itu, memang, berbeda.
Di paper yang sama, Poincaré membandingkan 3-manifold dengan homologi dari 3-bola dan juga kelompok fundamental insignifikan harus menjadi 3-bola. Poincaré kondisi baru-yakni, "fundamental insignifikan"-dapat diungkapkan kembali sebagai "setiap loop dapat menyusut ke titik."
Ungkapan asli adalah sebagai berikut:
Pertimbangkan yang kompak 3-dimensi manifold V tanpa batas. Apakah mungkin bahwa kelompok fundamental V dapat insignifikan, meskipun V tidak homeomorphic ke bola 3-dimensi?
Poincaré tidak pernah menyatakan apakah ia percaya kondisi tambahan ini akan ciri 3-bola, tapi tetap saja, pernyataan bahwa hal itu dikenal sebagai konjektur Poincaré. Berikut adalah bentuk standar dari konjektur:
Setiap hanya tersambung, tertutup 3 - manifold adalah homeomorphic ke 3-bola.
Masalah ini tampaknya sudah dormant untuk sementara waktu, sampai Whitehead JHC menghidupkan kembali minat terhadap konjektur, ketika pada tahun 1930 ia pertama kali menyatakan bukti, dan kemudian ditarik. Dalam proses, ia menemukan beberapa contoh menarik hanya terhubung non-compact 3-manifold tidak homeomorphic untuk R 3, prototipe dari yang sekarang disebut Whitehead manifold.
Pada tahun 1950-an dan 1960-an, matematikawan lain mengklaim hanya untuk menemukan sebuah cacat. Matematikawan berpengaruh seperti Bing, Haken, Moise, dan Papakyriakopoulos menyerang konjektur. Bing terbukti di tahun 1958 versi yang lemah dari konjektur Poincaré: jika setiap kurva tertutup sederhana yang kompak 3-manifold terkandung dalam 3-bola, maka manifold adalah homeomorphic ke 3-bola. Bing juga menjelaskan beberapa perangkap dalam mencoba membuktikan konjektur Poincaré.
Sejalan dengan waktu, konjektur memperoleh reputasi sebagai hal yang sangat sulit untuk ditangani. John Milnor berkomentar bahwa kadang-kadang kesalahan dalam bukti-bukti palsu dapat "lebih halus dan sulit untuk dideteksi." Bekerja pada peningkatan pemahaman konjektur 3-manifold. Pakar di bidang ini sering enggan untuk mengumumkan bukti-bukti, dan cenderung untuk melihat pengumuman tersebut dengan sikap skeptis. Pada 1980-an dan 1990-an ada beberapa publikasi yang terbukti keliru saat memecahkan masalah ini (yang tidak benar-benar dipublikasikan, dalam bentuk peer-review).
Sebuah eksposisi upaya untuk membuktikan konjektur ini dapat ditemukan dalam buku non-teknis
Klasifikasi Permukaan Tertutup memberikan jawaban afirmatif untuk pertanyaan analogi dalam dua dimensi. Untuk dimensi lebih dari tiga, seseorang dapat mengajukan Generalized konjektur Poincaré: adalah homotopy bola n-homeomorphic ke n-bola? Asumsi yang lebih kuat diperlukan; dalam dimensi empat dan lebih tinggi ada-terhubung hanya manifold yang tidak homeomorphic ke n-bola.
Secara historis, sementara konjektur dalam tiga dimensi kelihatan masuk akal, konjektur yang umum dianggap palsu. Pada tahun 1961 Stephen Smale mengejutkan para matematikawan karena membuktikan konjektur Poincaré Generalized untuk dimensi lebih besar dari empat dan melebarkan teknik untuk membuktikan fundamental cobordism h-teorema. Pada tahun 1982 Michael Freedman membuktikan konjektur Poincaré dalam dimensi empat. Karya Freedman dibiarkan terbuka terhadap kemungkinan bahwa ada empat-manifold mulus homeomorphic ke empat-bola yang tidak diffeomorphic ke empat-bola. Ini yang disebut konjektur Poincare halus, dalam dimensi empat, tetap terbuka dan dianggap sangat sulit. Bola eksotis Milnor menunjukkan bahwa konjektur Poincare yang halus adalah salah dalam tujuh dimensi, misalnya.
Keberhasilan awal ini dalam dimensi yang lebih tinggi meninggalkan kasus tiga dimensi dalam limbo. Konjektur Poincaré pada dasarnya benar dalam kedua dimensi empat dan semua dimensi yang lebih tinggi untuk alasan yang berbeda secara substansial. Dalam dimensi tiga, yang konjektur memiliki reputasi yang tidak pasti sampai konjektur geometrization memasukkannya ke dalam sebuah kerangka kerja yang mengatur semua 3-manifold. John Morgan
Ini adalah pandangan saya bahwa sebelum Thurston 's bekerja di hiperbolik 3-manifold dan. . . Geometrization konjektur yang tidak ada konsensus di antara para ahli mengenai apakah konjektur Poincaré itu benar atau salah. Setelah Thurston karya, meskipun fakta bahwa hal itu tidak langsung berpengaruh pada konjektur Poincaré, sebuah konsensus dikembangkan bahwa konjektur Poincaré (dan Geometrization konjektur) itu benar.
Program Hamilton ini dimulai di kertas 1982 di mana ia memperkenalkan aliran Ricci pada manifold dan menunjukkan cara menggunakannya untuk membuktikan beberapa kasus khusus pada konjektur Poincaré. [11] Pada tahun-tahun berikutnya ia memperluas karya ini, namun tidak mampu membuktikan konjektur. Solusi yang sebenarnya tidak ditemukan sampai Grigori Perelman menerbitkan surat menggunakan ide dari kerja Hamilton.
Pada akhir tahun 2002 dan 2003 Perelman menyampaikan tiga makalah di arXiv. Dalam makalah ini, ia membuat sketsa bukti konjektur Poincaré dan konjektur yang lebih umum, Thurston's geometrization konjektur, menyelesaikan program aliran Ricci diuraikan sebelumnya oleh Richard Hamilton.
Dari Mei hingga Juli 2006, beberapa kelompok dipresentasikan dalam makalah yang memenuhi rincian Perelman bukti dari konjektur Poincaré, sebagai berikut:
Bruce Kleiner dan John W. Lott posted sebuah makalah tentang arXiv Mei 2006 yang mengisi rincian Perelman's bukti dari geometrization konjektur.
Huai-Dong Cao dan Ping Zhu Xi-makalah yang diterbitkan dalam edisi Juni 2006 Asian Journal of Mathematics memberikan bukti lengkap dan geometrization Poincaré konjektur, di mana mereka digunakan beberapa karya sebelumnya oleh Kleiner dan Lott.
John Morgan dan Gang Tian posted sebuah makalah tentang arXiv pada bulan Juli 2006 yang memberikan bukti rinci hanya Poincaré Conjecture (yang agak lebih mudah daripada geometrization penuh konjektur) [17] dan diperluas untuk buku ini.
Semua tiga kelompok menemukan bahwa kesenjangan dalam surat-surat Perelman yang kecil dan bisa diisi dengan menggunakan teknik-teknik sendiri.
Pada tanggal 22 Agustus 2006, MKI Perelman yang dianugerahi Medali Fields untuk karyanya pada konjektur, tetapi Perelman menolak medali. [19] [20] [21] John Morgan berbicara di MKI pada konjektur Poincaré pada 24 Agustus 2006 , menyatakan bahwa "pada tahun 2003, Perelman memecahkan Poincaré Conjecture."
Pada Desember 2006 Sains majalah menghormati Poincaré bukti konjektur sebagai Breakthrough of the Year dan menampilkan itu di sampulnya. [3]
Program Hamilton untuk membuktikan konjektur Poincaré meletakkan pertama melibatkan metrik Riemann pada hanya diketahui terhubung tertutup 3-manifold. Idenya adalah mencoba untuk memperbaiki metrik ini, misalnya, jika metrik cukup dapat ditingkatkan sehingga memiliki kelengkungan konstan, maka itu harus menjadi 3-bola. Metrik meningkat menggunakan aliran Ricci persamaan;
di mana g adalah metrik dan R yang Ricci kelengkungan, dan satu harapan bahwa sebagai waktu t meningkatkan manifold menjadi lebih mudah untuk dipahami. Memperluas aliran Ricci kelengkungan negatif bagian dari kontrak manifold dan bagian kelengkungan positif.
Dalam beberapa kasus Hamilton mampu menunjukkan bahwa karya ini, misalnya, jika manifold memiliki kelengkungan Ricci positif di mana-mana ia menunjukkan bahwa manifold menjadi punah dalam waktu yang terbatas di bawah Ricci mengalir tanpa singularitas lainnya. (Dengan kata lain, para manifold runtuh pada suatu titik waktu tertentu, melainkan mudah untuk menggambarkan struktur sebelum runtuh manifold.) Ini menyiratkan mudah konjektur Poincaré dalam kasus kelengkungan Ricci positif. Namun secara umum persamaan aliran Ricci menyebabkan singularitas dari metrik setelah waktu tertentu. Perelman menunjukkan bagaimana untuk melanjutkan masa lalu singularitas ini: sangat kasar, ia memotong manifold sepanjang singularitas, membelah manifold menjadi beberapa bagian, dan kemudian melanjutkan dengan aliran Ricci pada masing-masing bagian. Prosedur ini dikenal sebagai aliran Ricci dengan operasi.
Kasus khusus Perelman's teorema tentang aliran Ricci dengan operasi diberikan sebagai berikut.
Mengalir bersama yang Ricci operasi tertutup manifold berorientasi 3-baik yang ditetapkan untuk sepanjang masa. Jika fundamental merupakan produk gratis dari kelompok yang terbatas dan grup siklik kemudian mengalir dengan operasi Ricci menjadi punah dalam waktu terbatas, dan setiap saat semua komponen dari berbagai tersambung jumlah S 2 bundel lebih dari S 1 dan quotients dari S 3 .
Hasil ini menyiratkan konjektur Poincaré karena mudah untuk memeriksa untuk manifold yang mungkin tercantum dalam kesimpulan.
Kondisi pada kelompok fundamental ternyata diperlukan (dan cukup) untuk waktu yang terbatas kepunahan, dan khususnya mencakup hal fundamental insignifikan. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa perdana dekomposisi dari berbagai tidak memiliki komponen asiklis, dan ternyata setara dengan syarat bahwa semua potongan geometris dari berbagai telah geometri berdasarkan dua geometri Thurston × R S 2 dan S 3. Dengan mempelajari batas manifold untuk waktu yang besar, Perelman membuktikan konjektur Thurston's geometrization mendasar untuk setiap kelompok: pada umumnya kali manifold memiliki dekomposisi tebal-tipis, potong tebal yang memiliki struktur hiperbolik, dan bagian yang tipis adalah grafik manifold, tetapi komplikasi tambahan ini tidak perlu untuk membuktikan hanya konjektur Poincaré.
Teori Konjektur Poincare Terpecahkan
Penghargaan itu rencananya akan diberikan oleh Clay Mathematics Institute, sebuah lembaga asal Amerika Serikat kepada pria yang tinggal di flat sederhana di St Petersburg, bulan Maret lalu. Sebab, Perelman mampu memecahkan Konjektur Poincare, yang sudah satu abad memusingkan matematikawan. Solusi itu dia posting lewat internet
Konjektur Henri Poincare diajukan pada tahun 1904, adalah salah satu konjektur paling tua dan paling dasar dalam bidang topologi, yang kadang disebut geometri lembar karet, studi matematika terhadap permukaan dan bentuk dengan semua kemungkinan puntiran, belokan, dan dimensi.
Ia menyarankan cara mengetahui benda geometri yang sulit dibayangkan yang memiliki dimensi lebih dari tiga. Ia mengajarkan matematikawan bagaimana mempelajari bola berdimensi tinggi, bahkan bila ia telah dilontarkan atau diubah bentuk seperti karet.
Walaupun Poincare menduga kalau ujinya bekerja, ia tidak dapat membuktikannya dan tidak seorang pun bisa. Tahun 1980an, Richard Hamilton mengajukan aliran Ricci, sebuah alat matematika yang dapat diterapkan pada bentuk abstrak dan menghaluskannya.
“Beliau mengembangkan teori aliran Ricci kurang lebih dari coret-coret semata,” kata Jim Carlson. “Sejak awal ia sudah memiliki gagasan indah persamaan jenis apa yang dapat mengatur perubahan suatu bentuk. Ia meneruskannya untuk membuktikan keseluruhannya dalam hasil yang fantastis.”
Namun, walau usaha kerasnya, konjektur Poincare tetap tak terjamah. Gagasan aliran Ricci tidak bekerja pada setiap kasus yang mungkin ada, hingga Gregory Perelman muncul dan memberikan buktinya.
Matematikawan Grigory (Grisha) Perelman memposting buktinya di situs arXiv.org dalam tiga bagian tahun 2002 dan 2003. Tahun 2006, setelah matematikawan lain telah membuktikan kebenaran bukti yang ia berikan, ia dihadiahi medali Fields, salah satu penghargaan tertinggi dalam matematika. Ia menolaknya, dengan mengatakan kalau ia bukan satu-satunya yang berhak mendapatkan kredit atas bukti tersebut.
Juli tahun lalu, Perelman juga menolak hadiah satu juta dollar yang diberikan Insititut Clay karena membuktikan konjektur Poincare. Pada saat perayaan di Clay, ia memberi tahu kantor berita Rusia, Interfax, kalau masyarakat matematika tidak adil dan kalau ia tidak menyukai keputusan mereka. Richard Hamilton, katanya, berhak mendapatkan kredit yang sama atas bukti yang ia berikan.
“Solusi dari konjektur Poincare adalah langkah besar maju dalam topologi dan geometri yang kita sekarang tahu yang dimungkinkan oleh gagasan Hamilton,” kata Jim Carlson, presiden Institut Matematika Clay di Cambridge, Massachusets. “Perelman harus dipandang sebagai orang yang mencapai impian yang dimiliki Hamilton.”
Yayasan Shaw Prize di Hongkong awal bulan Juni 2011 ini mengumumkan kalau ia akan membagi hadiah satu juta dollar tahunannya dalam ilmu matematika, separuh pada Richard Hamilton di Universitas Columbia New York, yang menciptakan proses geometri yang berada dibalik bukti yang diberikan Perelman pada konjektur Poincare. Separuhnya lagi diberikan pada Demetrios Christodoulou, dari Insititut Teknologi Federeal Swiss di Zurich atas penelitiannya pada fisika lubang hitam dan relativitas umum.
Konjektur Henri Poincare diajukan pada tahun 1904, adalah salah satu konjektur paling tua dan paling dasar dalam bidang topologi, yang kadang disebut geometri lembar karet, studi matematika terhadap permukaan dan bentuk dengan semua kemungkinan puntiran, belokan, dan dimensi.
Ia menyarankan cara mengetahui benda geometri yang sulit dibayangkan yang memiliki dimensi lebih dari tiga. Ia mengajarkan matematikawan bagaimana mempelajari bola berdimensi tinggi, bahkan bila ia telah dilontarkan atau diubah bentuk seperti karet.
Walaupun Poincare menduga kalau ujinya bekerja, ia tidak dapat membuktikannya dan tidak seorang pun bisa. Tahun 1980an, Richard Hamilton mengajukan aliran Ricci, sebuah alat matematika yang dapat diterapkan pada bentuk abstrak dan menghaluskannya.
“Beliau mengembangkan teori aliran Ricci kurang lebih dari coret-coret semata,” kata Jim Carlson. “Sejak awal ia sudah memiliki gagasan indah persamaan jenis apa yang dapat mengatur perubahan suatu bentuk. Ia meneruskannya untuk membuktikan keseluruhannya dalam hasil yang fantastis.”
Namun, walau usaha kerasnya, konjektur Poincare tetap tak terjamah. Gagasan aliran Ricci tidak bekerja pada setiap kasus yang mungkin ada, hingga Gregory Perelman muncul dan memberikan buktinya.
Matematikawan Grigory (Grisha) Perelman memposting buktinya di situs arXiv.org dalam tiga bagian tahun 2002 dan 2003. Tahun 2006, setelah matematikawan lain telah membuktikan kebenaran bukti yang ia berikan, ia dihadiahi medali Fields, salah satu penghargaan tertinggi dalam matematika. Ia menolaknya, dengan mengatakan kalau ia bukan satu-satunya yang berhak mendapatkan kredit atas bukti tersebut.
Juli tahun lalu, Perelman juga menolak hadiah satu juta dollar yang diberikan Insititut Clay karena membuktikan konjektur Poincare. Pada saat perayaan di Clay, ia memberi tahu kantor berita Rusia, Interfax, kalau masyarakat matematika tidak adil dan kalau ia tidak menyukai keputusan mereka. Richard Hamilton, katanya, berhak mendapatkan kredit yang sama atas bukti yang ia berikan.
“Solusi dari konjektur Poincare adalah langkah besar maju dalam topologi dan geometri yang kita sekarang tahu yang dimungkinkan oleh gagasan Hamilton,” kata Jim Carlson, presiden Institut Matematika Clay di Cambridge, Massachusets. “Perelman harus dipandang sebagai orang yang mencapai impian yang dimiliki Hamilton.”
Yayasan Shaw Prize di Hongkong awal bulan Juni 2011 ini mengumumkan kalau ia akan membagi hadiah satu juta dollar tahunannya dalam ilmu matematika, separuh pada Richard Hamilton di Universitas Columbia New York, yang menciptakan proses geometri yang berada dibalik bukti yang diberikan Perelman pada konjektur Poincare. Separuhnya lagi diberikan pada Demetrios Christodoulou, dari Insititut Teknologi Federeal Swiss di Zurich atas penelitiannya pada fisika lubang hitam dan relativitas umum.
Dalam matematika, Konjektur Poincaré (Perancis, diucapkan: [pwɛkaʁe]) adalah teorema tentang karakterisasi tiga dimensi bola di antara tiga dimensi manifold. Mulanya teorema ini disampaikan oleh Henri Poincaré, yaitu klaim menyangkut ruang yang secara lokal seperti ruang tiga dimensi biasa, tetapi terhubung, ukuran tertentu terbatas, dan tidak memiliki batas apa pun (yang 3-manifold tertutup). Konjektur Poincaré menyatakan bahwa jika ada ruang tambahan sehingga setiap loop di ruang dapat terus diperketat ke titik, itu hanya bola tiga dimensi. Hasil analog telah dikenal di dimensi yang lebih tinggi untuk beberapa waktu.
Pada awal abad ke-20, Henri Poincaré sedang bekerja di dasar topologi-apa yang kemudian disebut kombinatorial topologi dan kemudian aljabar topologi. Ia sangat tertarik pada apa sifat-sifat topologi yang dicirikan sebuah bola.
Henri Poincaré mengklaim pada 1900 bahwa homologi, alat ciptaannya didasarkan pada karya Enrico Betti, sudah cukup untuk mengetahui apakah sebuah 3-manifold adalah seorang 3-bola. Namun, dalam kertas 1904 ia menggambarkan balik terhadap klaim ini, sebuah ruang yang kini disebut bola homologi Poincaré. Bola Homologi Poincaré merupakan contoh pertama dari sebuah homologi bola, sebuah manifold yang memiliki homologi sama sebagai sebuah bola, yang telah dibangun banyak orang lain. Untuk menetapkan bahwa lingkup Poincaré berbeda dari 3-bola, memperkenalkan Poincaré baru invarian topologi, yang fundamental, dan menunjukkan bahwa bola Poincaré memiliki fundamental keteraturan 120, sedangkan 3-bola memiliki fundamental insignifikan. Dengan cara ini ia dapat menyimpulkan bahwa kedua ruang itu, memang, berbeda.
Kasus khusus Perelman's teorema tentang aliran Ricci dengan operasi diberikan sebagai berikut.
Mengalir bersama yang Ricci operasi tertutup manifold berorientasi 3-baik yang ditetapkan untuk sepanjang masa. Jika fundamental merupakan produk gratis dari kelompok yang terbatas dan grup siklik kemudian mengalir dengan operasi Ricci menjadi punah dalam waktu terbatas, dan setiap saat semua komponen dari berbagai tersambung jumlah S 2 bundel lebih dari S 1 dan quotients dari S 3 .
Hasil ini menyiratkan konjektur Poincaré karena mudah untuk memeriksa untuk manifold yang mungkin tercantum dalam kesimpulan.
Kondisi pada kelompok fundamental ternyata diperlukan (dan cukup) untuk waktu yang terbatas kepunahan, dan khususnya mencakup hal fundamental insignifikan. Hal ini setara dengan mengatakan bahwa perdana dekomposisi dari berbagai tidak memiliki komponen asiklis, dan ternyata setara dengan syarat bahwa semua potongan geometris dari berbagai telah geometri berdasarkan dua geometri Thurston × R S 2 dan S 3. Dengan mempelajari batas manifold untuk waktu yang besar, Perelman membuktikan konjektur Thurston's geometrization mendasar untuk setiap kelompok: pada umumnya kali manifold memiliki dekomposisi tebal-tipis, potong tebal yang memiliki struktur hiperbolik, dan bagian yang tipis adalah grafik manifold, tetapi komplikasi tambahan ini tidak perlu untuk membuktikan hanya konjektur Poincaré.
Dalam matematika , Poincaré berspekulasi ( [pwɛkaʁe] , [1] Bahasa Inggris: / pwɛn.kɑreɪ / pwen-kar-ay ) adalah teorema tentang karakterisasi dari bola tiga dimensi (3-sphere), yang merupakan hypersphere yang batas yang bola satuan dalam empat-dimensi ruang. The conjecture states: Menyatakan dugaan:
An equivalent form of the conjecture involves a coarser form of equivalence than homeomorphism called homotopy equivalence: if a 3-manifold is homotopy equivalent to the 3-sphere, then it is necessarily homeomorphic to it. Sebuah bentuk yang ekuivalen dugaan melibatkan bentuk kasar kesetaraan dari homeomorphism disebut homotopy kesetaraan: jika 3-berjenis setara homotopy ke wilayah 3-, maka tentu homeomorphic untuk itu.
Originally conjectured by Henri Poincaré , the theorem concerns a space that locally looks like ordinary three-dimensional space but is connected, finite in size, and lacks any boundary (a closed 3-manifold ). Originally conjectured oleh Henri Poincaré , teorema keprihatinan ruang yang secara lokal tampak seperti biasa tiga dimensi ruang tetapi terhubung, terbatas dalam ukuran, dan tidak memiliki batas apapun (yang ditutup 3-bermacam-macam ). The Poincaré conjecture claims that if such a space has the additional property that each loop in the space can be continuously tightened to a point, then it is necessarily a three-dimensional sphere. Poincaré yang berspekulasi mengklaim bahwa jika seperti ruang memiliki properti tambahan bahwa setiap lingkaran dalam ruang dapat terus diperketat untuk titik, maka tentu bola tiga dimensi. An analogous result has been known in higher dimensions for some time. Sebuah hasil yang analog telah dikenal di dimensi yang lebih tinggi untuk beberapa waktu.
After nearly a century of effort by mathematicians, Grigori Perelman presented a proof of the conjecture in three papers made available in 2002 and 2003 on arXiv . Setelah hampir satu abad upaya oleh matematikawan, Grigori Perelman disajikan bukti dugaan dalam tiga makalah yang dibuat tersedia pada tahun 2002 dan 2003 di arXiv . The proof followed the program of Richard Hamilton . Buktinya mengikuti program Richard Hamilton . Several high-profile teams of mathematicians have verified that Perelman's proof is correct. Beberapa profil tinggi tim matematikawan telah diverifikasi bahwa bukti Perelman adalah benar.
The Poincaré conjecture, before being proven, was one of the most important open questions in topology . Poincaré yang berspekulasi, sebelum terbukti, adalah salah satu pertanyaan terbuka yang paling penting dalam topologi . It is one of the seven Millennium Prize Problems , for which the Clay Mathematics Institute offered a $1,000,000 prize for the first correct solution. Ini adalah salah satu dari tujuh Hadiah Masalah Milenium , dimana Tanah Liat Matematika Institut menawarkan hadiah $ 1.000.000 untuk solusi yang tepat pertama. Perelman's work survived review and was confirmed in 2006, leading to his being offered a Fields Medal , which he declined. Selamat bekerja Perelman review dan telah dikonfirmasi pada tahun 2006, menyebabkan ia ditawari Fields Medal , yang ditolaknya. Perelman was awarded the Millennium Prize on March 18, 2010. [ 2 ] On July 1, 2010, he turned down the prize saying that he believes his contribution in proving the Poincaré conjecture was no greater than that of US mathematician Richard Hamilton (who first suggested a program for the solution). [ 3 ] [ 4 ] The Poincaré conjecture is the first and, as of June 2011, the only solved Millennium problem . Perelman dianugerahi Hadiah Milenium pada tanggal 18 Maret 2010. [2] Pada tanggal 1 Juli 2010, ia menolak hadiah mengatakan bahwa ia percaya kontribusinya dalam membuktikan dugaan Poincaré tidak lebih besar daripada matematika AS Richard Hamilton (yang pertama kali menyarankan sebuah program untuk solusi). [3] [4] yang berspekulasi Poincaré adalah yang pertama dan, pada Juni 2011, hanya memecahkan masalah Milenium .
On December 22, 2006, the journal Science honored Perelman's proof of the Poincaré conjecture as the scientific " Breakthrough of the Year ", the first time this had been bestowed in the area of mathematics. [ 5 ] Pada tanggal 22 Desember 2006, jurnal Ilmu bukti dihormati Perelman tentang dugaan Poincaré sebagai "ilmiah Terobosan of the Year ", pertama kali ini telah diberikan di bidang matematika.
pertanyaan Poincaré 's
At the beginning of the 20th century, Henri Poincaré was working on the foundations of topology—what would later be called combinatorial topology and then algebraic topology . Pada awal abad ke-20, Henri Poincaré bekerja di yayasan dari topologi-apa yang kemudian akan disebut kombinatorial topologi dan kemudian algebraic topology . He was particularly interested in what topological properties characterized a sphere . Dia khususnya tertarik pada apa sifat topologi ditandai sebuah bola .
Poincaré claimed in 1900 that homology , a tool he had devised based on prior work by Enrico Betti , was sufficient to tell if a 3-manifold was a 3-sphere . Poincaré mengklaim pada 1900 bahwa homologi , alat ia merancang berdasarkan pekerjaan sebelumnya oleh Enrico Betti , sudah cukup untuk mengetahui apakah 3-berjenis adalah 3-bola . However, in a 1904 paper he described a counterexample to this claim, a space now called the Poincaré homology sphere . Namun, dalam kertas 1904 dia menggambarkan counterexample untuk klaim ini, ruang sekarang disebut lingkup homologi Poincaré . The Poincaré sphere was the first example of a homology sphere , a manifold that had the same homology as a sphere, of which many others have since been constructed. Lingkungan Poincaré contoh pertama dari bola homologi , manifold yang memiliki homologi sama seperti sebuah bola, yang banyak orang lain telah sejak dibangun. To establish that the Poincaré sphere was different from the 3-sphere, Poincaré introduced a new topological invariant , the fundamental group , and showed that the Poincaré sphere had a fundamental group of order 120, while the 3-sphere had a trivial fundamental group. Untuk menetapkan bahwa lingkup Poincaré berbeda dari bola 3-, Poincaré memperkenalkan baru topological , yang kelompok dasar , dan menunjukkan bahwa bola Poincaré memiliki kelompok dasar urutan 120, sedangkan 3-bola memiliki kelompok dasar sepele. In this way he was able to conclude that these two spaces were, indeed, different. Dengan cara ini ia dapat menyimpulkan bahwa kedua ruang itu, memang, yang berbeda.
In the same paper, Poincaré wondered whether a 3-manifold with the homology of a 3-sphere and also trivial fundamental group had to be a 3-sphere. Dalam kertas yang sama, Poincaré bertanya-tanya apakah manifold 3-dengan homologi sebuah bola 3-dan kelompok mendasar juga sepele harus menjadi 3-bola. Poincaré's new condition—ie, "trivial fundamental group"—can be restated as "every loop can be shrunk to a point." Baru Poincaré 's kondisi-yaitu, "kelompok dasar sepele"-dapat kembali sebagai "loop setiap dapat menyusut ke titik."
The original phrasing was as follows: Ungkapan asli sebagai berikut:
Poincaré never declared whether he believed this additional condition would characterize the 3-sphere, but nonetheless, the statement that it does is known as the Poincaré conjecture . Poincaré tidak pernah menyatakan apakah ia percaya kondisi ini tambahan akan mencirikan 3-bola, tapi tetap saja, pernyataan bahwa hal itu dikenal sebagai dugaan Poincaré. Here is the standard form of the conjecture: Berikut adalah bentuk standar dugaan tersebut:
Percobaan solusi
This problem seems to have lain dormant for a time, until JHC Whitehead revived interest in the conjecture, when in the 1930s he first claimed a proof, and then retracted it. Masalah ini tampaknya telah terbengkalai selama beberapa waktu, sampai JHC Whitehead kembali ketertarikan dalam dugaan, ketika pada tahun 1930 ia pertama kali mengklaim bukti, dan kemudian mencabut hal itu. In the process, he discovered some interesting examples of simply connected non-compact 3-manifolds not homeomorphic to R 3 , the prototype of which is now called the Whitehead manifold . Dalam prosesnya, ia menemukan beberapa contoh menarik dari hanya terhubung non-kompak manifold 3-tidak homeomorphic ke R 3, prototipe dari yang sekarang disebut berjenis Whitehead .
In the 1950s and 1960s, other mathematicians were to claim proofs only to discover a flaw. Pada 1950-an dan 1960-an, matematikawan lain untuk mengklaim bukti hanya untuk menemukan cacat. Influential mathematicians such as Bing , Haken , Moise , and Papakyriakopoulos attacked the conjecture. Matematikawan berpengaruh seperti Bing , Haken , Moise , dan Papakyriakopoulos menyerang dugaan tersebut. In 1958 Bing proved a weak version of the Poincaré conjecture: if every simple closed curve of a compact 3-manifold is contained in a 3-ball, then the manifold is homeomorphic to the 3-sphere. [ 6 ] Bing also described some of the pitfalls in trying to prove the Poincaré conjecture. [ 7 ] Pada tahun 1958 terbukti Bing versi lemah dugaan Poincaré: jika setiap kurva tertutup sederhana yang berjenis 3-kompak yang terkandung dalam bola 3-, maka manifold adalah homeomorphic untuk lingkup 3-. [6] Bing juga dijelaskan beberapa perangkap dalam mencoba untuk membuktikan dugaan Poincaré. [7]
Over time, the conjecture gained the reputation of being particularly tricky to tackle. John Milnor commented that sometimes the errors in false proofs can be "rather subtle and difficult to detect." [ 8 ] Work on the conjecture improved understanding of 3-manifolds. Seiring waktu, dugaan yang diperoleh reputasi yang sangat sulit untuk mengatasi. John Milnor berkomentar bahwa kadang-kadang kesalahan dalam bukti palsu dapat "agak halus dan sulit untuk mendeteksi." [8] Bekerja pada dugaan tersebut meningkatkan pemahaman tentang 3-manifold. Experts in the field were often reluctant to announce proofs, and tended to view any such announcement with skepticism. Para ahli di lapangan sering enggan untuk mengumumkan bukti, dan cenderung untuk melihat setiap pengumuman tersebut dengan skeptisisme. The 1980s and 1990s witnessed some well-publicized fallacious proofs (which were not actually published in peer-reviewed form). [ 9 ] [ 10 ] 1980-an dan 1990-an menyaksikan beberapa dipublikasikan dengan baik bukti keliru (yang tidak benar-benar dipublikasikan dalam peer-review bentuk). [9] [10]
An exposition of attempts to prove this conjecture can be found in the non-technical book Poincaré's Prize by George Szpiro. [ 11 ] Sebuah eksposisi dari upaya untuk membuktikan dugaan ini dapat ditemukan dalam Hadiah non-teknis buku Poincaré oleh George Szpiro. [11]
Dimensi
Main article: Generalized Poincaré conjecture Artikel utama: Generalized dugaan Poincaré
The classification of closed surfaces gives an affirmative answer to the analogous question in two dimensions. Para klasifikasi permukaan tertutup memberikan jawaban afirmatif untuk pertanyaan analog dalam dua dimensi. For dimensions greater than three, one can pose the Generalized Poincaré conjecture : is a homotopy n -sphere homeomorphic to the n -sphere? Untuk dimensi lebih besar dari tiga, seseorang dapat menimbulkan dugaan Poincaré Generalized: adalah homeomorphic n-bola homotopy ke ruang n-? A stronger assumption is necessary; in dimensions four and higher there are simply-connected manifolds which are not homeomorphic to an n -sphere. Asumsi kuat diperlukan; dalam dimensi empat dan lebih tinggi ada manifold hanya terhubung yang tidak homeomorphic ke lingkup n-.
Historically, while the conjecture in dimension three seemed plausible, the generalized conjecture was thought to be false. Secara historis, sedangkan dugaan dalam dimensi tiga tampak masuk akal, dugaan umum dianggap palsu. In 1961 Stephen Smale shocked mathematicians by proving the Generalized Poincaré conjecture for dimensions greater than four and extended his techniques to prove the fundamental h-cobordism theorem . Pada tahun 1961 Stephen Smale terkejut matematika dengan membuktikan dugaan Generalized Poincaré untuk dimensi lebih besar dari empat dan diperpanjang teknik untuk membuktikan fundamental Teorema h-cobordism . In 1982 Michael Freedman proved the Poincaré conjecture in dimension four. Pada tahun 1982 Michael Freedman membuktikan Poincaré berspekulasi dalam dimensi empat. Freedman's work left open the possibility that there is a smooth four-manifold homeomorphic to the four-sphere which is not diffeomorphic to the four-sphere. Pekerjaan Freedman dibiarkan terbuka kemungkinan bahwa ada homeomorphic empat berjenis halus untuk lingkup empat yang tidak diffeomorphic untuk lingkup empat. This so-called smooth Poincaré conjecture , in dimension four, remains open and is thought to be very difficult. Milnor 's exotic spheres show that the smooth Poincaré conjecture is false in dimension seven, for example. Ini disebut halus Poincaré dugaan, dalam dimensi empat, tetap terbuka dan dianggap sangat sulit. Milnor 's sudut eksotis menunjukkan bahwa dugaan Poincaré halus palsu dalam tujuh dimensi, misalnya.
These earlier successes in higher dimensions left the case of three dimensions in limbo. Keberhasilan ini sebelumnya dalam dimensi yang lebih tinggi meninggalkan kasus tiga dimensi di limbo. The Poincaré conjecture was essentially true in both dimension four and all higher dimensions for substantially different reasons. Poincaré yang berspekulasi pada dasarnya benar di kedua dimensi empat dan semua dimensi yang lebih tinggi untuk alasan substansial berbeda. In dimension three, the conjecture had an uncertain reputation until the geometrization conjecture put it into a framework governing all 3-manifolds. John Morgan wrote: [ 12 ] Dalam dimensi tiga, dugaan itu reputasi pasti sampai geometrization dugaan . memasukkannya ke dalam kerangka yang mengatur semua 3-manifolds John Morgan wrote: [12]
Hamilton program dan solusi Perelman ini
Several stages of the Ricci flow on a two-dimensional manifold. Beberapa tahap aliran Ricci pada bermacam-macam dua dimensi.
Main article: Solution of the Poincaré conjecture Artikel utama: Solusi dugaan Poincaré
Hamilton's program was started in his 1982 paper in which he introduced the Ricci flow on a manifold and showed how to use it to prove some special cases of the Poincaré conjecture. [ 13 ] In the following years he extended this work, but was unable to prove the conjecture. Program Hamilton dimulai pada tahun 1982 kertas di mana ia memperkenalkan aliran Ricci pada bermacam-macam dan menunjukkan bagaimana menggunakannya untuk membuktikan beberapa kasus khusus dari dugaan Poincaré. [13] Pada tahun-tahun berikutnya ia memperluas karya ini, tetapi tidak dapat membuktikan dugaan tersebut. The actual solution was not found until Grigori Perelman published his papers using ideas from Hamilton's work. Solusi yang sebenarnya tidak ditemukan sampai Grigori Perelman makalah nya menggunakan ide dari pekerjaan Hamilton.
All three groups found that the gaps in Perelman's papers were minor and could be filled in using his own techniques. Semua tiga kelompok menemukan bahwa kesenjangan dalam makalah ini adalah minor Perelman dan dapat diisi menggunakan teknik sendiri.
On August 22, 2006, the ICM awarded Perelman the Fields Medal for his work on the conjecture, but Perelman refused the medal. [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] John Morgan spoke at the ICM on the Poincaré conjecture on August 24, 2006, declaring that "in 2003, Perelman solved the Poincaré Conjecture." [ 25 ] Pada tanggal 22 Agustus 2006, ICM Perelman yang diberikan Field Medal untuk karyanya pada dugaan, namun Perelman menolak medal. [22] [23] [24] John Morgan berbicara di ICM pada dugaan Poincaré pada 24 Agustus 2006 , menyatakan bahwa "pada tahun 2003, Perelman memecahkan dugaan Poincaré." [25]
In December 2006, the journal Science honored the proof of Poincaré conjecture as the Breakthrough of the Year and featured it on its cover. [ 5 ] Pada bulan Desember 2006, jurnal Sains dihormati bukti dugaan Poincaré sebagai Terobosan of the Year dan ditampilkan di sampulnya. [5]
Ricci aliran dengan operasi
Main article: Ricci flow Artikel utama: Ricci aliran
Hamilton's program for proving the Poincaré conjecture involves first putting a Riemannian metric on the unknown simply connected closed 3-manifold. Program Hamilton untuk membuktikan dugaan Poincaré melibatkan pertama menempatkan metrik Riemann pada diketahui hanya terhubung ditutup 3-manifold. The idea is to try to improve this metric; for example, if the metric can be improved enough so that it has constant curvature, then it must be the 3-sphere. Idenya adalah mencoba untuk meningkatkan metrik ini, misalnya, jika metrik dapat ditingkatkan cukup sehingga memiliki lekukan konstan, maka harus 3-bola. The metric is improved using the Ricci flow equations; Metrik ini ditingkatkan dengan menggunakan aliran Ricci persamaan;
where g is the metric and R its Ricci curvature, and one hopes that as the time t increases the manifold becomes easier to understand. mana g adalah kelengkungan Ricci metrik dan R, dan satu harapan bahwa sebagai waktu t meningkatkan manifold menjadi lebih mudah untuk dimengerti. Ricci flow expands the negative curvature part of the manifold and contracts the positive curvature part. Ricci aliran memperluas bagian kelengkungan negatif dari manifold dan kontrak bagian kelengkungan positif.
In some cases Hamilton was able to show that this works; for example, if the manifold has positive Ricci curvature everywhere he showed that the manifold becomes extinct in finite time under Ricci flow without any other singularities. Dalam beberapa kasus Hamilton mampu menunjukkan bahwa ini bekerja, misalnya, jika manifold memiliki kelengkungan positif Ricci mana ia menunjukkan bahwa manifold menjadi punah dalam waktu yang terbatas di bawah aliran Ricci tanpa singularitas yang lain. (In other words, the manifold collapses to a point in finite time; it is easy to describe the structure just before the manifold collapses.) This easily implies the Poincaré conjecture in the case of positive Ricci curvature. (Dengan kata lain, manifold runtuh ke titik dalam waktu terbatas; mudah untuk menggambarkan struktur sebelum runtuh bermacam-macam.) Ini dengan mudah berarti dugaan Poincaré dalam kasus kelengkungan Ricci positif. However in general the Ricci flow equations lead to singularities of the metric after a finite time. Namun secara umum persamaan aliran Ricci menyebabkan singularitas dari metrik setelah waktu yang terbatas. Perelman showed how to continue past these singularities: very roughly, he cuts the manifold along the singularities, splitting the manifold into several pieces, and then continues with the Ricci flow on each of these pieces. Perelman menunjukkan bagaimana untuk melanjutkan masa lalu singularitas ini: sangat kasar, ia memotong manifold sepanjang singularitas, membelah manifold menjadi beberapa bagian, dan kemudian berlanjut dengan aliran Ricci pada masing-masing potongan. This procedure is known as Ricci flow with surgery . Prosedur ini dikenal sebagai aliran Ricci dengan operasi.
A special case of Perelman's theorems about Ricci flow with surgery is given as follows. Suatu kasus khusus dari teorema
This result implies the Poincaré conjecture because it is easy to check it for the possible manifolds listed in the conclusion. Hasil ini menyiratkan dugaan Poincaré karena mudah untuk memeriksa untuk manifolds yang mungkin tercantum dalam kesimpulan.
The condition on the fundamental group turns out to be necessary (and sufficient) for finite time extinction, and in particular includes the case of trivial fundamental group. Kondisi pada kelompok mendasar ternyata diperlukan (dan cukup) untuk kepunahan waktu terbatas, dan khususnya termasuk kasus kelompok dasar sepele. It is equivalent to saying that the prime decomposition of the manifold has no acyclic components, and turns out to be equivalent to the condition that all geometric pieces of the manifold have geometries based on the two Thurston geometries S 2 × R and S 3 . Hal ini setara dengan mengatakan bahwa dekomposisi utama manifold tidak memiliki komponen asiklik, dan ternyata setara dengan kondisi bahwa semua potongan geometris dari manifold memiliki geometri didasarkan pada dua geometri Thurston S 2 × R dan S 3. By studying the limit of the manifold for large time, Perelman proved Thurston's geometrization conjecture for any fundamental group: at large times the manifold has a thick-thin decomposition , whose thick piece has a hyperbolic structure, and whose thin piece is a graph manifold , but this extra complication is not necessary for proving just the Poincaré conjecture. [ 26 ] Dengan mempelajari batas manifold untuk waktu yang besar, Perelman terbukti berspekulasi geometrization Thurston untuk setiap kelompok dasar: pada waktu besar manifold memiliki dekomposisi tebal-tipis , yang tebal sepotong memiliki struktur hiperbolik, dan yang tipis sepotong adalah berjenis grafik , tapi ini komplikasi tambahan tidak diperlukan untuk membuktikan hanya dugaan Poincaré.
4.Konjektur Dorin Andrica
Konjekture ini berhubungan dengan bilangan prima. Bunyinya adalah sebagai berikut :
Jika adalah bilangan prima ke n dan adalah bilangan prima ke n+1, maka :
untuk setiap n bilangan asli.
Misalnya :
Dapat dilihat pada tabel beberapa nilai pertamanya.
Imran Ghory dengan menggunakan komputer sudah mengecheck sampai . Dan semua angka yang dihasilkan adalah kurang dari 1.
Dan selisih terbesar yang ditemukan adalah 0,670873… , yaitu
Selisih terbesar kedua yaitu
Selisih terbesar selanjutnya yaitu
Konjekture ini memang akan sulit untuk dibuktikan. Apalagi rumus umum untuk bilangan prima itu sendiri masih belum ada sampai saat ini.
lebih jelasnya
Berspekulasi Andrica ini (bernama setelah Dorin Andrica ) adalah dugaan mengenai kesenjangan antara bilangan prima . [1]
The conjecture states that the inequality Menyatakan dugaan bahwa ketidaksamaan
holds for all n , where p n is the n th prime number. berlaku untuk semua n, dimana p n adalah primake-n nomor. If g n = p n + 1 − p n denotes the n th prime gap , then Andrica's conjecture can also be rewritten as Jika g n = p n + 1 - p n n th menunjukkan kesenjangan perdana , maka konjektur Andrica juga dapat ditulis kembali sebagai
Bukti empiris
Imran Ghory telah menggunakan data tentang kesenjangan prima terbesar untuk mengkonfirmasi dugaan untuk n sampai dengan 1.3002 x 10 16. [2]
The discrete function Fungsi diskrit is plotted in the figures opposite. diplot dalam angka berlawanan. The high-water marks for A n occur for n = 1, 2, and 4, with A 4 ≍ 0.670873..., with no larger value among the first 10 5 primes. Tinggi air tanda untuk A n terjadi untuk n, = 1 2, dan 4, dengan A 4 ≍ 0,670873 ..., dengan tidak ada nilai yang lebih besar di antara 10 bilangan prima pertama 5. Since the Andrica function decreases asymptotically as n increases, a prime gap of ever increasing size is needed to make the difference large as n becomes large. Karena fungsi Andrica menurun asimtotik saat n bertambah, kesenjangan utama dari meningkatnya ukuran yang diperlukan untuk membuat perbedaan besar ketika n menjadi besar. It therefore seems highly likely the conjecture is true, although this has not yet been proven. Oleh karena itu tampaknya sangat mungkin dugaan itu benar, walaupun ini belum terbukti.
Generalisasi
As a generalization of Andrica's conjecture, the following equation has been considered: Sebagai generalisasi dugaan Andrica, persamaan berikut telah dipertimbangkan:
where p n is the n th prime and n can be any positive integer. dimana p n adalah n th prima dan ndapat setiap bilangan bulat positif.
The largest possible solution x is easily seen to occur for n = 1 , when x max =1. X solusi terbesar yang mungkin adalah mudah dilihat terjadi untuk n = 1, ketika x max = 1. The smallest solution x is conjectured to be x min ≍ 0.567148... X solusi terkecil menduga akan x min ≍ 0.567148 ... (sequence A038458 in OEIS ) which occurs for n = 30. [ 3 ] (Urutan A038458 dalam Oei ) yang terjadi untuk n = 30. [3]
This conjecture has also been stated as an inequality , the generalized Andrica conjecture: Dugaan ini juga telah dinyatakan sebagai ketidaksetaraan , dugaan Andrica umum:
for x < x min . untuk x <x> min.</x>
Penulisan tidak efektif ada beberapa uraian yang ditulis secara berulang-ulang tanpa perbedaan yang berarti.
ReplyDelete