Basis Bilangan

Selama ini kita mengenal bilangan basis 10, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 19, 20, ….

Ini merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota adalah 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Setiap bilangan desimal itu mempunyai bentuk:

an.10^n + …. + a3.10^3 + a2.10^2 + a1.10^1 + a0.10^0

Dengan “an” adalah bilangan cacah yang kurang dari 10.

Misal, 12 bisa ditulis : 12 = (1.10^1) + (2.10^0) = (1.10) + (2.1) = 10 + 2 = 12

Bagaimana dengan bilangan: 1, 10, 11, 100, 110, …?

Ini merupakan bilangan basis 2 dengan angka terbesar adalah 1. Pada bilangan basis 2 banyaknya anggota adalah 2, yaitu 0 dan 1.

Keterangan:

1dua = 1

10dua = 2

11dua = 3

100dua = 4

101dua = 5

Menulisnya: 10dua artinya 10 di dalam basis 2. Jika tidak ditulis maka dianggap basis 10. Begitu pula untuk basis yang lainnya, menulisnya 10dua, 10tiga, 10empat, 10lima, 10enam, 10tujuh, 10delapan, 10sembilan, dst.

(Untuk menulisnya mungkin bisa dengan cara yang lain, seperti 10_2, 10(2), dll. Tetapi kali ini yang digunakan adalah penulisan seperti di atas).

Untuk bilangan selain desimal (bilangan basis 2 hingga 16) kita perhatikan uraian berikut:

Bilangan Basis 2 (Biner)

Bilangan basis 2 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 2, yaitu 0 dan 1.

Contoh :

1dua = (1.2^0) = 1

10dua = (1.2^1) + (0.2^0) = 2 + 0 = 2

11dua = (1.2^1) + (1.2^0) = 2 + 1 = 3

100dua = (1.2^2) + (0.2^1) + (0.2^0) = 4 + 0 + 0 = 4

101dua = (1.2^2) + (0.2^1) + (1.2^0) = 4 + 0 + 1 = 5

Bilangan Basis 3

Bilangan basis 3 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 3, yaitu 0, 1 dan 2.

Contoh :

1tiga = (1.3^0) = 1

2tiga = (2.3^0) = 2

10tiga = (1.3^1) + (0.3^0) = 3 + 0 = 3

11tiga = (1.3^1) + (1.3^0) = 3 + 1 = 4

12tiga = (1.3^1) + (2.3^0) = 3 + 2 = 5

Bilangan Basis 4

Bilangan basis 4 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 4, yaitu 0, 1, 2 dan 3.

Contoh :

1empat = (1.4^0) = 1

3empat = (3.4^0) = 3

10empat = (1.4^1) + (0.4^0) = 4 + 0 = 4

12empat = (1.4^1) + (2.4^0) = 4 + 2 = 6

13empat = (1.4^1) + (3.4^0) = 4 + 3 = 7

Bilangan Basis 5

Bilangan basis 5 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 5, yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.

Contoh :

1lima = (1.5^0) = 1

4lima = (4.5^0) = 4

10lima = (1.5^1) + (0.5^0) = 5 + 0 = 5

12lima = (1.5^1) + (2.5^0) = 5 + 2 = 7

23lima = (2.5^1) + (3.5^0) = 10 + 3 = 13

Bilangan Basis 6

Bilangan basis 6 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 6, yaitu 0, 1, 2, 3 , 4 dan 5.

Contoh :

1enam = (1.6^0) = 1

5enam = (5.6^0) = 5

10enam = (1.6^1) + (0.6^0) = 6 + 0 = 6

15enam = (1.6^1) + (5.6^0) = 6 + 5 = 11

35enam = (3.6^1) + (5.6^0) = 18 + 5 = 23

Bilangan Basis 7

Bilangan basis 7 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 7, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

Contoh :

1tujuh = (1.7^0) = 1

6tujuh = (6.7^0) = 6

10tujuh = (1.7^1) + (0.7^0) = 7 + 0 = 7

15tujuh = (1.7^1) + (5.7^0) = 7 + 5 = 12

26tujuh = (2.7^1) + (6.7^0) = 14 + 6 = 20

Bilangan Basis 8

Bilangan basis 8 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 8, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.

Contoh :

1delapan = (1.8^0) = 1

7delapan = (3.8^0) = 7

10delapan = (1.8^1) + (0.8^0) = 8 + 0 = 8

16delapan = (1.8^1) + (6.8^0) = 8 + 6 = 14

42delapan = (4.8^1) + (2.8^0) = 32 + 2 = 34

Bilangan Basis 9

Bilangan basis 9 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 9, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8.

Contoh :

1sembilan = (1.9^0) = 9

8sembilan = (8.9^0) = 8

10sembilan = (1.9^1) + (0.9^0) = 9 + 0 = 9

22sembilan = (2.9^1) + (2.9^0) = 18 + 2 = 20

51sembilan = (5.9^1) + (1.9^0) = 45 + 1 = 46

Bilangan Basis 11

Bilangan basis 11 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 11, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan A.

(huruf A = 10)

Contoh :

1sebelas = (1.11^0) = 1

9sebelas = (9.11^0) = 9

Asebelas = (A.11^0) = (10.11^0) = 10 (ingat! A = 10)

10sebelas = (1.11^1) + (0.11^0) = 11 + 0 = 11

1Asebelas = (1.11^1) + (A.11^0) = (1.11^1) + (10.11^0) = 11 + 10 = 21 (ingat! A = 10)

Bilangan Basis 12

Bilangan basis 12 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 12, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A dan B.

(huruf A = 10, B = 11)

Contoh :

1duabelas = (1.12^0) = 1

9duabelas = (9.12^0) = 9

Aduabelas = (A.12^0) = (10.12^0) = 10 (ingat! A = 10)

Bduabelas = (B.12^0) = (11.12^0) = 11 (ingat! B = 11)

10duabelas = (1.12^1) + (0.12^0) = 12 + 0 = 12

1Aduabelas = (1.12^1) + (A.12^0) = (1.12^1) + (10.12^0) = 12 + 10 = 22 (ingat! A = 10)

2Bduabelas = (2.12^1) + (B.12^0) = (2.12^1) + (11.12^0) = 24 + 11 = 35 (ingat! B = 11)

Bilangan Basis 13

Bilangan basis 13 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 13, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B dan C.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12)

Contoh :

1tigabelas = (1.13^0) = 1

9tigabelas = (9.13^0) = 9

Ctigabelas = (C.13^0) = (12.13^0) = 12 (ingat! C = 12)

10tigabelas = (1.13^1) + (0.13^0) = 13 + 0 = 13

1Atigabelas = (1.13^1) + (A.13^0) = (1.13^1) + (10.13^0) = 13 + 10 = 23 (ingat! A = 10)

BCtigabelas = (B.13^1) + (C.13^0) = (11.13^1) + (12.13^0) = 143 + 12 = 155 (ingat! B = 11, C = 12)

Bilangan Basis 14

Bilangan basis 14 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 14, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C dan D.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13)

Contoh :

1empatbelas = (1.14^0) = 1

9empatbelas = (9.14^0) = 9

Dempatbelas = (D.14^0) = (13.14^0) = 13 (ingat! D = 13)

10empatbelas = (1.14^1) + (0.14^0) = 14 + 0 = 14

1Bempatbelas = (1.14^1) + (B.14^0) = (1.14^1) + (11.14^0) = 14 + 11 = 25 (ingat! B = 11)

ADempatbelas = (A.14^1) + (D.14^0) = (10.14^1) + (13.14^0) = 140 + 13 = 153 (ingat! A = 10, D = 13)

Bilangan Basis 15

Bilangan basis 15 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 15, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D dan E.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14)

Contoh :

1limabelas = (1.15^0) = 1

9limabelas = (9.15^0) = 9

Elimabelas = (E.15^0) = (14.15^0) = 14 (ingat! E = 14)

10limabelas = (1.15^1) + (0.15^0) = 15 + 0 = 15

1Dlimabelas = (1.15^1) + (D.15^0) = (1.15^1) + (13.15^0) = 15 + 13 = 28 (ingat! D = 13)

AElimabelas = (A.15^1) + (E.15^0) = (10.15^1) + (14.15^0) = 150 + 14 = 164 (ingat! A = 10, E = 14)

Bilangan Basis 16 (Hexadesimal)

Bilangan basis 16 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 16, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 16)

Contoh :

1enambelas = (1.16^0) = 1

9enambelas = (9.16^0) = 9

Fenambelas = (F.16^0) = (15.16^0) = 15 (ingat! F = 15)

10enambelas = (1.16^1) + (0.16^0) = 16 + 0 = 16

1Fenambelas = (1.16^1) + (F.16^0) = (1.16^1) + (15.16^0) = 16 + 15 = 31 (ingat! F = 15)

AFenambelas = (A.16^1) + (F.16^0) = (10.16^1) + (15.16^0) = 160 + 15 = 175 (ingat! A = 10, F = 15)

MERUBAH BILANGAN KE BASIS 10 (DESIMAL)

Cara 1 : PENGUARAIAN

Contoh :

Ubah 234lima ke basis 10.

Jawab :

234lima = (2.5^2) + (3.5^1) + (4.5^0) = 50 + 15 + 4 = 69

Cara 2 : HORNER

Contoh :

Ubah 234lima ke basis 10.

Jawab :

   | 2    3      4

5 |      10    65

    --------------------- +

     2   13    69

jadi jwabannya 69

MENGUBAH BILANGAN BASIS 10 (DESIMAL) KE BASIS LAINNYA

Cara 1. OPERASI PEMBAGIAN

Untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan basis lainnya digunakan operasi pembagian dengan basisnya sambil memperhatikan sisanya.

Contoh :

Ubah 150 ke basis 8.

Jawab :

150 : 8 = 18 sisa 6

18 : 8 = 2 sisa 2

2 : 8 = 0 sisa 2note : untuk menuliskan basis 8 nya, pembacaan dilakukan dari bawah. Jadi jawabannya 226delapan 

Cara 2 : MENCARI GCD

Contoh :

Ubah 150 ke basis 8.

Jawab :

150 = 8 x 18 + 6

18 = 8 x 2 + 2

note : untuk menuliskan basis 8 nya, dibaca dari pembagi terkecilnya yaitu 2 lalu ke sisa nya. Jadi jawabannya 226delapan

atau

150 = 8 x 18 + 6

18 = 8 x 2 + 2

2 = 8 x 0 + 2 note : untuk menuliskan basis 8 nya, perhatikan sisanya, lalu pembacaan dilakukan dari bawah. Jadi jawabannya 226delapan 

Cara 3 :

PENGURAIAN

Contoh :

Ubah 150 ke basis 8.

Jawab :

150 = a.8^2 + b.8 +c

150 = 18 x 8 + 6

150 = (8x2 + 2)8 + 6

150 = 2x8^2 + 2x8 + 6

jadi dibaca 226delapan

LATIHAN I

Ubah ke basis 10

1. 2011tiga

Jawab :

Cara 1 : PENGUARAIAN

2011tiga

= (2.3^3) + (0.3^2) + (1.3^1) + (1.3^0)

= 54 + 0 + 3 + 1

= 58

Cara 2 : HORNER

   | 2    0    1    1

3 |       6  18   57

   -------------------------- +

      2   6  19   58

jadi jwabannya 58

2. 3021empat

Jawab :

3021empat

= (3.4^3) + (0.4^2) + (2.4^1) + (1.4^0)

= 192 + 0 + 8 + 1

= 201

3. 4223lima

Jawab :

4223lima

= (4.5^3) + (2.5^2) + (2.5^1) + (3.5^0)

= 500 + 50 + 10 + 3

= 563

4. 5253enam

Jawab :

5253enam

= (5.6^3) + (2.6^2) + (5.6^1) + (3.6^0)

= 1080 + 72 + 30 + 3

= 1185

5. 3136tujuh

Jawab :

3136tujuh

= (3.7^3) + (1.7^2) + (3.7^1) + (6.7^0)

= 1029 + 49 + 21 + 6

= 1105

6. 2675delapan

Jawab :

2675delapan

= (2.8^3) + (6.8^2) + (7.8^1) + (5.8^0)

= 1024 + 384 + 56 + 5

= 1469

7. 524enam

Jawab :

524enam

= (5.6^2) + (2.6^1) + (4.6^0)

= 180 + 12 + 4

= 196

8. 423lima

Jawab :

423lima

= (4.5^2) + (2.5^1) + (3.5^0)

= 100 + 10 + 3

= 113

9. 10203empat

  Jawab :

10203empat= (1.4^4) + (0.4^3) + (2.4^2) + ( 0.4^1) + (3.4^0)

= 256 + 0 + 32 + 0 + 3

= 291

Untuk cara hornernya dicoba sendiri ya… ^.^.^

LATIHAN II

1. Ubah 57 ke basis 2.

Jawab :

Cara 1. OPERASI PEMBAGIAN

57 : 2 = 28 sisa 1

28 : 2 = 14 sisa 0

14 : 2 = 7 sisa 0

7 : 2 = 3 sisa 1

3 : 2 = 1 sisa 1

1 : 2 = 0 sisa 1

Baca sisanya dari bawah, jadi jawabannya 111001dua

Cara 2. MENCARI GCD

57 = 2 x 28 + 1

28 = 2 x 14 + 0

14 = 2 x 7 + 0

7 = 2 x 3 + 1

3 = 2 x 1 + 1

1 = 2 x 0 + 1

Baca sisanya dari bawah, jadi jawabannya 111001dua

2. Ubah 257 ke basis 3.

Jawab :

257 = 3 x 85 + 2

85 = 3 x 28 + 1

28 = 3 x 9 + 1

9 = 3 x 3 + 0

3 = 3 x 1 + 0

1 = 3 x 0 + 1

Sehingga 257 = 100112tiga

3. Ubah 432 ke basis 12

Jawab :

423 : 12 = 35 sisa 3

35 : 12 = 2 sisa 11 (Ingat! B = 11)

2 : 12 = 0 sisa 2

Sehingga 423 = 2B3duabelas

4. Ubah 678 ke hexadesimal

Jawab :

678 : 16 = 42 sisa 6

42 : 16 = 2 sisa 10 (Ingat! A = 10)

2 : 16 = 0 sisa 2

Sehingga 678 = 2A6enambelas

5. Ubah 1011dua dalam basis 5

Jawab :

Ubah ke basis 10 dulu,

1011dua

= (1.2^3) + (0.2^2) + (1.2^1) + (1.2^0)

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Ubah ke basis 5,

11 = 5 x 2 + 1

2 = 5 x 0 + 2

11 = 21lima, sehingga 1011dua = 21lima

6. Ubah 110011001dua dalam basis 13

Jawab :

Ubah ke basis 10 dulu,

110011001dua

= (1.2^8) + (1.2^7) + (0.2^6) + (0.2^5) + (1.2^4) + (1.2^3) + (0.2^2) + (0.2^1) + (1.2^0)

= 256 + 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1

= 409

Ubah ke basis 13,

409 = 13 x 31 + 6

31 = 13 x 2 + 5

2 = 13 x 0 + 2

sehingga 110011001dua = 256tigabelas