rangkuman integral

INTEGRAL TAK TENTU (TANPA BATAS) INTEGRAL SUBSTITUSI INTEGRAL TRIGONOMETRI INTEGRAL PARSIAL INTEGRAL TERTENTU PENERAPAN INTEGRAL : LUAS, VOLUME, PANJANG BUSUR, LUAS BIDANG PUTAR


Catatan, tanda ^ artinya pangkat.


Rumus Integral Tak Tentu


ʃ x^n dx = 1/n+1 x^(n + 1) + C untuk n ≠-1
ʃ 1/x dx = ʃ x^-1 dx = ln x + C


Sifat-sifat integral tak tentu :


ʃ a dx = ax (a = konstanta/bilangan)
ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx (k = konstanta)
ʃ f(x) ± g(x) dx = ʃ f(x)dx + ʃ g(x) dx




Integral Substutusi


Integral perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain.


Bentuk : ʃ g(x) f^n (x) dx


Syarat : g(x) = k. f’(x)dx, k = bilangan pengali (-3/4,-1/2, 1, 2,...) k≠0


Rumus :
ʃ g(x) f^n (x)dx = {g(x) / (n+1)f ’ (x) } . f^n+1 (x) + C






Integral Trigonometri


ʃ sin x dx = - cos x + C
ʃ cos x dx = sin x + C
ʃ sin U dx = {- 1/U’ } cos U + C
ʃ cos U dx = {1/U' } sin U + C
dengan U’ turunan pertama dari U


Rumus-Rumus Integral Trigonometri




ʃ tg U dx = 1/U’ ln l cosU l + C ʃ ctg U dx = 1/ U’ ln l sinU l + C ʃ sec U dx = 1/U’ ln l sec+tgU l + C ʃ cosec U dx = 1/U’ ln l cosecU + cotgU l + C
Integral Parsial
Bentuk Umum : ʃ U dv = U V - ʃ V du
Atau Rumus Tanzalin : ʃ f(x) . g(x) dx = f(x) ʃ g(x) f ‘ (x) ʃʃ g(x) dx f “(x) ʃʃʃ g(x) dx


u dv kali+1 kali-1 kali+1


Catatan :


Rumus ini diterapkan sampai f(x) mencapai konstanta tertentu.


f(x) diturunkan sedangkan g(x) diintegralkan


Jika f(x) pangkat dua : f(x) diturunkan dua kali g(x) diintegralkan tiga kali.




Contoh : ʃ x^2 sinx dx = ....


Kita selesaikan dengan : ʃ U dv = U V - ʃ V du


Misal U = x^2 du = 2x dx dv = sin x V = ʃ sin x dx = -cos x


ʃ x^2 sinx dx = x^2 . (-cos x) - ʃ -cos x 2x dx


= -x^2 cos x + ʃ 2x.cos x dx


= -x^2 cos x + [ 2x sinx - ʃ sin x . 2 dx]


= -x^2 cos x + [ 2x sinx – (-2 cos x) ]


= -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C


Sangat ringkas kalau diselesaikan dengan Rumus Tanzalin :




ʃ x^2 sinx dx =


Misal f(x) = x^2 diturunkan hingga mencapai konstanta 2


g(x) = sin x diintegralkan


Langkah 1 : f(x) ʃ g(x) = x^2 (-cos x) kali +1 = -x^2 cos x


Langkah 2 : f ‘ (x) ʃʃ g(x) dx = 2x . (-sin x) kali -1 = +2x sin x


Langkah 3 : f “ ʃʃʃ g(x) dx = 2 . cos x kali +1 = + 2 cos x


Jangan lupa tambahkan C


Jadi ʃ x^2 sinx dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C




Sebelum melanjutkan ke integral tertentu, kita kasih contoh soal dulu :


Contoh soal :


ʃ 3x √(x^2-3) dx = ........


Menjawab soal ini dgn cara substitusi atau cara parsial??


Kita uraikan dulu :


Misal : g(x) = 3x
f(x) = x^2-3, sehingga f ‘(x) = 2x
Ternyata dapat diperoleh hubungan g(x) = 3/2 f ‘(x) ------à 3x=3/2 . 2x


Jadi gunakan penyelesaian cara substitusi. Ingat, Integral Substitusi adalah perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain. Bentuknya ʃ g(x) f^n(x) dx. Syaratnya : g(x) = k. f ‘(x). k = bilangan pengali ≠ 0.


Jadi Penyelesaian Soal : ʃ 3x √(x^2-3) dx = ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx


Ingat Rumus yang ini : ʃ g(x) f^n(x) dx = g(x) / {(n+1) f ‘(x)} . f ^(n+1) (x) dx + C


ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx = 3x / {(1/2+1).2x} . (x^2 – 3)^(1/2+1) + C




= 3x / (3/2.2x) . (x^2 – 3)^3/2 + C




= (x^2 – 3)^3/2 + C




= (x^2 – 3) √(x^2 – 3) + C


Selesaikan soal sangat mudah berikut dgn menggunakan Rumus Integral Substitusi :


ʃ 4(2x-5)^3 dx = .....................






Contoh Penyelesaian Soal Integral dengan cara Parsial :


ʃ 4x (2x + 5)^4 dx = .............


Soal seperti ini lebih baik dikerjakan dgn cara Parsial dari pada cara Substitusi.


f(x) = 4x cukup diturunkan satu kali hingga mencapai konstanta 4


g(x) = (2x+5)^4 diintegralkan dua kali, karena f(x) nya cuma diturunkan satu kali.


Gunakan Rumus Tanzalin : ʃ f(x).g(x) = f(x) ʃ g(x) dx f ‘(x) ʃʃ g(x) dx (cukup sampai sini


kali +1 kali -1


karena sudah mencapai konstanta)


Langkah 1 : 4x. 1/10 (2x+5)^5 kali +1


Langkah 2 : 4. 1/120 (2x+5)^6 kali -1


= 2/5 x (2x+5)^5 – 1/30 (2x+5)^6 + C


= 1/30 (2x+5)^5 (12x – (2x+5)) + C


= 1/30 (2x+5)^5 (10x – 5) + C




Integral Tertentu


Integral yang dilengkapi dengan batas daerah definisinya.


Bentuk Umum :


ʃ [a,b] f(x) dx = [F(x)][a,b] = [F(x)) = F(b) – F(a)]


Sifat-sifat Integral Tertentu :


ʃ [a,b] [f(x) ± g(x)] = ʃ [a,b] f(x) dx ± ʃ [a,b] g(x) dx


ʃ [a,b] f(x) dx + ʃ [b,c] f(x) dx = ʃ [a,c] f(x) dx ------à a < b < c
ʃ [a,b] f(x) dx = - ʃ [b,a] f(x) dx
ʃ [a,b] k f(x) dx = k ʃ [a,b] f(x) dx
ʃ [a,a] f(x) = 0
Keterangan : [a,b] = a batas bawah, b batas atas.