GENERATING FUNGTION

Rumus-Rumus penting pada generating fungtion:

1) 1+x+x"+x"'+....x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)

2) 1+x+x"+.......=1/(1-x)

3) (1+x)^n=1+C(n,1)x+C(n,2)x"+...+C(n,r)x^r+...+C(n,n)x^n

4) (1-x^m)^n=1-C(n,1)x^m+C(n,2)x^(2m)+....+(-1)^r(C,r)x^(rm)+...+(-1)^n C(n,n)x^(nm).

5)1/(x-1)^n=[(sigma (0 sampai tak hingga)) x^i]^n=(sigma (0 sampai tak hingga)) C(n+i-1, i) x^i

6) Jika h(x)=f(x).g(x), dimana f(x)=a0+a1x+a2x^2+.... dan g(x)=b0+b1x+b2x^2+.... maka

h(x)=a0b0+(a1b0+a0b1)x+(a2b0+a1b1+a0b2)x^2 + .... +(arb0+a_r-1 . b1+a_r-2 . b2+.....(a0br)x^r.

7. Koefisien x^r pada (1+x+x"+...)^n adalah C(r+n-1,r).

Contoh:

Tentukan koefisien x^11 dari (1+x+x"+x"'+x^4)^7

jawab: dengan menggunakan rumus pertama didapatkan:

(1+x+x"+x"'+x^4)^7=[(1-x^(5))/(1-x)]^7=[(1-x^5)]^7.[1/(1-x)]^7

[1-x^5]^7=1-C(7,1)x^5+C(7,2)x^10+....-C(7,7)x^(35) dari rumus ke 4

1/(1-x)=1+x+x"+x"'+....... dari rumus ke 2 maka, [1/(1-x)]^7=1+C(7,1)x+C(8,2)x"+C(9,3)x"'+.... dari rumus 7

Maka:

[(1-x^5)]^7.[1/(1-x)]^7=[1-C(7,1)x^5+C(7,2)x^10+....-C(7,7)x^(35)]

[1+C(7,1)x+C(8,2)x"+C(9,3)x"'+....]

Koefisien x^11 adalah jumlah perkalian dari pasangan-pasangan berikut:

koefisien x^0 dan koefisien x^11

koefisien x^5 dan koefisien x^6

koefisien x^10 dan koefisien x^1

maka koefisien x^11 adalah:

1.C(11+7-1,11)+(-C(7,1))C(6+7-1, 6)+C(7,2).C(1+7-1,1)=....

CONTOH II

Banyaknya cara memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana dimana tiap tipe dari 2 dan 6 yang terpilih.... akan dijawab kapan-kapan... bagi yang berminat silahkan jawab sebagai latihan....