Modulo (2) tingkat menengah

kali ini di modulo jilid 2 kita membahas tentang teori wilson dan pangkat yang dipangkatkan dalam modulo

pertama tama kita membahas tentang teori wilson

Teori Wilson

rumus:

rumus umunya yaitu

1. (p-1)! Ξ -1 (mod p) atau (p-1)! Ξ (p-1) (mod p)

untuk p adalah bil prima

pembuktiannya ada di http://asimtot.wordpress.com/2010/06/01/teorema-wilson/ danhttp://hendrydext.blogspot.com/2009/08/teorema-wilson.html

lalu kita kembangkan

(p-1)! Ξ (p-1) (mod p)

(p-1).(p-2)! Ξ (p-1) (mod p)

(p-2)! Ξ 1 (mod p)

jadi rumus ke 2

2.(p-2)! Ξ 1 (mod p)

kembangkan lagi jadi rumus ke tiga yaitu

3. (p-3)! Ξ (p-1)/2 (mod p) disini untuk p prima >2

setelah dikembangkan lagi saya menemukan rumus baru yaitu

4. (p-4)! Ξ(p+1)/6 (mod p) dan -(p-1)/6 (mod p) ada dua kemungkinan

kita lihat dari p nya

jika p=6k+1 maka (p-4)! Ξ -(p-1)/6 (mod p)

jika p=6k-1 maka (p-4)! Ξ (p+1)/6 (mod p)

berlaku untuk p prima dan >3

untuk yang (p-5)! sudah tinggal memakai invers modulo peyelesaian dengan menggunakan persamaan diophantine seperti yang akan dijelaskan dibawah ini!

dan banyak pengembangan lain yang bisa diperoleh seperti

5. a^p +a(p-1)! Ξ a^(p-1) -1 = 0 (mod p)

untuk pembuktian bisa request!

soal 1.

Berapakah sisanya

16! dibagi 17

‎

(17-1)! Ξ -1 (mod 17)

16! Ξ -1 (mod 17)

16! Ξ ((-1)17 + 16) (mod 17)

16! Ξ 16 (mod 17)

jadi sisanya 16

soal 2.

Tentukan sisa dari

21! dibagi 23

21! mod 23 Ξ (23-2)! mod 23

21! mod 23 Ξ 1 mod 23

jd sisanya 1

soal 3.

berapakah sisa dari

131! dibagi 131

131! mod 131 Ξ 0 mod 131

jd 131! habis dibagi 131 (sisa = 0)

soal 4.

Berapakah sisa dari

2(26!) dibagi 29

pake rumus ke 3

26! Ξ (29-1)/2 mod 29

26! Ξ 14 mod 29

2.26! Ξ 2.14 mod 29

2.26! Ξ 28 mod 29

atau

(p-2)!Ξ1 (mod p)

27! Ξ 1 (mod 29)

27.26! Ξ 1 (mod 29)

27.26!Ξ29k+1 (mod 29)

k=13

26! Ξ 14 (mod 29)

2.26! Ξ 28 (mod 29)

soal 5.

gunakan rumus ke 5 yang diatas

7^2011 +7(2010)! mod2011

sisanya 0

atau

7^2011 +7(2010)! mod2011

7^2010 .7 +7(-1) (mod 2011)

7-7 (mod 2011)

0 (mod 2011)

soal 6.

9!.(7!^11) +9!(10!) mod 11

(1).(7!^10).7! +1(-1) (mod 11)

7! -1 (mod 11)

8! Ξ (11-1)/2 (mod 11)

8.7! Ξ 5 (mod 11)

2^7.8.7!Ξ2^7.5 (mod 11)

7! Ξ 2^4 .2^3 .5 (mod 11)

7! Ξ 5 .8 .5 (mod 11)

7! Ξ 2 (mod 11)

7! -1 (mod 11)

2-1 (mod 11)

1 (mod 11)

soal 7.

7.(2008!) (mod 2011)

7.(2011-1)/2 (mod 2011)

7.1005 (mod 2011)

7035 mod 2011

1002 mod 2011

atau

7(2008!) mod 2011?

2009! Ξ 1 mod 2011

2009.2008! Ξ 2011e+1 mod 2011

e=1004

2008! Ξ 1005 mod 2011

7.2008! Ξ 7.1005 mod 2011

7.2008! Ξ 7035 mod 2011

7.2008! Ξ 1002 mod 2011

soal 8.

18!^17!^16! mod 19

hint :

prhtkn ini

(18!)^1 Ξ -1 (mod 19)

(18!)^2 Ξ 1 (mod 19)

(18!)^3 Ξ -1 (mod 19)

Bdakan genap ganjil

18!^17!^16! Mod 19

17!^16!=genap krn 17!=genap,

maka

18!^17!^16! mod 19=1

konsep dari bang sihab untuk soal (p-3-n)!

konsepnya gni,

Cnth: Kan berlaku

25 Ξ 1 (mod 4)

25 Ξ 5 (mod 4)

25 Ξ 9 (mod 4)

25 Ξ 13 (mod 4)

dst

Cnth soal.

4! Ξ ... (mod 7)

Kita kan memanfaatkan teorema

5! Ξ 1 (mod 7)

5.4! Ξ 1 (mod 7)

Trus kita gunakan sifat pembagian yg sdh kita bhas sblumnya..

Fpb dr 5 dan 7 adlh 1

5.4!/5 Ξ 1/5 (mod 7/1)

Tp masak, itu hasilnya pecahan.. G mgkn kan, makanya kita manfaatin.

5.4! Ξ [1] (mod 7)

5.4! Ξ [8] (mod 7)

5.4! Ξ [15] (mod 7)

Dg angka yg d dlm krung siku itu hbs dbgi 5.

Jdi,

5.4! Ξ 15 (mod 7)

Sfat pmbgian

5.4!/5 Ξ 15/5 (mod 7/1)

Shg

4! Ξ 3 (mod 7)

yg d dlm kurung kotak kan sbnarnya

7k+1 dg k bil bulat

kita inginnya 7k+1 itu menghasikan bil bulat ktka dbagi 5.

Jd

(7k+1)/5 = n

Maka

7k + 1 = 5n

5n - 7k = 1

Cari deh yg mememuhi, n dan k adlh bulat

Salah satu yg memenuhi:

n0=3, k0=2 (0=nol)

jadi, n dan k:

n=n0+(b/d)m

=3+(-7/1)m

n=3-7m

k=2-5m

dengan m bilangan bulat

kalo angkanya besar, gunakan cara persamaan diophantine!

Misal, ngawur angkanya

127k - 51n = 1

127=51(2)+25

51=25(2)+1

Krn sdh ada 1, maka proses dibalik

1=51-(25)2

1=51-(127-51(2))2

1=51(5)-127(2)

1=127(2)-51(5)

Jd, n0=5 dan k0=2

‎

k0=2,n0=5

k=2+127k

n=-5-51k

misal variabelnya x,y

ax+by=1

127x+51y=1

cari x0 dan y0 kaya cara bang sihab (algoritma euclid)

terus, rumusnya:

x=x0+(b/d)k

y=y0-(a/d)k

atau

x=x0-(b/d)k

y=y0+(a/d)k

d=divisor=gcd(x,y)

k=bilangan bulat (parameter)

Pangkat Berulang

contoh soal!

soal 9.

5^6^7 mod 11

5^1=5 mod 11

5^2=3mod 11

5^3=4mod 11

5^4=9mod 11

5^5=1mod 11

berulang stiap 5^5n

6^7 mod 5=6^4.6^3 mod 5

=36.6 mod5

=1mod5

jadi,

5^6^7 mod 11

=5^(5k+1)mod 11

=5 mod 11

atau

5^6^7 mod 11

euler 11=10

pangkatnya mencari sisa jika dibagi 10

6^7 mod 10

6 mod 10

5^6 mod 11

(5^2)^3 mod 11

5 mod 11

atau lagy

5^6^7 Ξ ... (mod 11)

Euler(11)=10

6^7 Ξ ... (mod 10)

6 pngkt brpapun hsilnya angkanya satuannya ya 6.

Jd,

Soal bisa ditulis

5^6 Ξ ... (mod 11)

5 Ξ 5 (mod 11)

5^3 Ξ 125 (mod 11)

5^3 Ξ 4 (mod 11)

5^3.5^3 Ξ 4.4 (mod 11)

5^6 Ξ 5 (mod 11)

soal 10.

2^2012 mod 100

2^2012 mod 100

pakai pembagi mod bagi dengan 4

2^2012/4 mod 100/(gcd100,4)

2^2010 mod 25 karena 25 dan 2 relatif prima kita pakai teori fermatnya

2^10 mod 25

1024 mod 25

24 mod 25

pakai perkalian mod lgy kali dngan 4

96 mod 100

GCD=Great Common Divisor= faktor persekutuan terbesar (FPB)

soal 11.

6^6^6 mod 37

6^6^6 mod 37

6^6 yg diatas pangkat 6 dijabarin jadi

2^6.3^6

keluarin 2 nya jadi 2(2^5.3^6)

msukan ke pangkatnya lagy

6^6^6 mod 37

6^{2(2^5.3^6)}

(6^2)^(2^5.3^6)

(6^2)^(2^5.3^6) mod 37

(36)^(2^5.3^6) mod 37

(37-1) ^(2^5.3^6) mod 37

(-1)^(2^5.3^6) mod 37

liat pangkatnya genap atau ganjil jelas genap maka

1 mod 37

atau

euler 37=36

6^6 Ξ 0 mod 36 (pangkatnya)

6^6^6 mod 37

6^0 Ξ 1 mod 37

jd sisa 1

atau

6^6^6 mod 37

jadi 6^6 jbarin lgy jd

6^5.6

oh ya .(titik) itu kali ya

6^5 jbarin lagy jadi

2^5 .3^5 .2.3

duanya di taruh depan

2.2^5.3^5.3

3 nya kalikan ke 3^5

jadi 2(2^5.3^6)

(6^2)^(2^5.3^6) mod 37

(36)^(2^5.3^6) mod 37

(37-1) ^(2^5.3^6) mod 37

(-1)^(2^5.3^6) mod 37

liat pangkatnya genap atau ganjil jelas genap maka

1 mod 37

soal 12.

2010^2011^2012^2013 mod 100

2010^2011^2012^2013 mod 100

10^2011^2012^2013

euler 100 =40

brarti pangkatnya di mod 40

2011^2012^2013 mod 40

11^2012^2013 mod 40

euler 40=16

pangkatnya di mod 16

2012^2013 mod 16

12^5 mod 16

0 mod 16

atau jadi 16k

11^2012^2013 mod 40

11^(16k) mod 40

1 mod 40

40k+1

10^2011^2012^2013 mod 100

10^(40k+1) mod 100

10^40k .10 mod 100

0.10 mod 100

0 mod 100

soal 13.

10^11^12 Ξ.... (mod 13)

euler 13=12

11^12 Ξ 1 mod 12 (pangkatnya)

10^11^12=10^1

jd 10^11^12 Ξ 10 mod 13

soal 14.

43^43^43 mod 100

43^43^43 mod 100

euler 100=40

43^40k mod 100=1

43^43 mod 40?

Euler 40=16

43^(16.2+11)mod 40

=43^11 mod 40

=3^11 mod 40

={(3^4)^2}3^3 mod 40

=(81^2)27 mod 40

=1^2. 27 mod 40

=27 mod 40

=40k+27

43^(40k+27) mod 100

=43^40k . 43^27 mod 100

=1.43^27 mod 100

=(43^4)^6 .43^3 mod 100

=1. 43^3 mod 100

=49.43 mod 100

=7 mod 100

atau

euler 100 = 40

43^43 mod 40

= 43^40 . 43^3 mod 40

=1 . 43^3 mod 40

=> 43 Ξ 3 mod 40

= 43^3 Ξ 27 mod 40

43^27 mod 100

=> 43^2 Ξ 49 mod 100

=> 43^3 Ξ 7 mod 100

=> 43^4 Ξ 1 mod 100

=> 43^(4.6) Ξ 1 mod 100

43^27= 43^24 . 43^3 Ξ 1 . 7 mod 100

7 mod 100

contoh soal campuran

soal 15.

2011(18!) +[2011(17!)]^2012^2013^2014 +7.(15!) mod 19

# 2011(18!) mod 19

= 2011 . 18 mod 19

=-2011 mod 19

=3 mod 19

# {2011(17!)}^2012^2013^2014 mod 19

{2011.(1)}^2012^2013^2014 mod 19

16^2012^2013^2014 mod 19

euler 19=18

2012^2013^2014 mod 18

14^2013^2014 mod 18

euler 18=6

2013^2014 mod 6

3^2.1007 mod 6

3 mod 6

14^3 mod 18

8 mod 18

16^8 mod 19

6 mod 19

# 7.15! Ξ ... mod 19

cara 1.

16! Ξ  (19-1)/2 mod 19

16.15! Ξ 9 mod 19

2^14.16.15! Ξ 2^14 .9 mod 19

15! Ξ (2^7)^2 .9 mod 19

15! Ξ  14^2 .9 mod 19

15! Ξ 6.9 mod 19

7.15! Ξ 72 mod 19

7.15! Ξ 16 mod 19

cara 2.

pake rumus ke 4

karena 19 adalah 6k+1 maka pakai rumus yang (p-4)! Ξ -(p-1)/6 (mod p) jadi

15! Ξ -(19-1)/6 (mod 19)

15! Ξ -3 (mod 19)7.15! Ξ -21 (mod 19)7.15! Ξ -3 (mod 19)

7.15! Ξ 16 (mod 19)

3 mod 19+6 mod 19+ 16 mod 19

=6 mod 19

Read More

ALTERNATIF METODA PEMFAKTORAN BENTUK KUADRAT: aX^2 + bX+ c

    ALTERNATIF METODA PEMFAKTORAN BENTUK KUADRAT: aX^2 + bX+ c

                                               Oleh: Yongki budis

Penjabaran Ide

Bentuk kuadrat secara umum dinyatakan sebagai:

aX^2 + bX+ c             ; dimana a ≠ 0                                                     ………. ( 1 )

Dimisalkan bahwa bentuk  pada ( 1 ) dapat difaktorkan menjadi:

( mX + p )( nX + q )                                                                                  ………. ( 2 )

Sehingga bentuk-bentuk pada ( 1 ) dan ( 2 ) dapat dipersamakan, menjadi:

aX^2 + bX+ c  = ( mX + p )( nX + q )                                                     ………. ( 3 )

aX^2 + bX+ c  = mnX^2 + ( mq + pn  )x + pq                                     ………. ( 4 )

Dengan mempersamakan setiap suku yang bersesuaian pada ruas kiri dan kanan dari bentuk ( 4 ), maka akan didapat:

  a = m .  n                                                                                                ………. ( 5 )

  c = p  .  q                                                                                                 ………. ( 6 )

  b = mq + pn                                                                                           ………. ( 7 )

Jika diamati bahwa ruas kanan pada bentuk ( 7 ) merupakan jumlah dari hasil kali silang ruas kanan pada bentuk-bentuk ( 5 ) dan ( 6 ).

Dari bentuk-bentuk ( 5 ), ( 6 ) dan ( 7 ) jika kita bandingkan terhadap bentuk ( 3 ) maka  dapat dijelaskan secara verbal sebagi berikut:

“Untuk memfaktorkan bentuk kuadrat maka uraikan bilangan-bilangan a dan c kedalam faktor-faktornya yang sesuai sedemikian rupa sehingga jumlah dari hasil kali silang faktor-faktor tersebut adalah sama dengan bilangan b.” 

Contoh  dan teknik pengerjaan:

1. Faktorkanlah bentuk: 12X^2  + 17X +  6 = 0

                       12    !    6

                       ===!====

                       4      !    3                         

                      === !===    ======>( 4X + 2 )( 3X  - 3 )=  0

                       3      !   2    

            Langkah-langkah pengerjaan:

1. Faktorkanlah bilangan 12 dan 6
2. Cek jumlah hasil kali silang faktor-faktor  tersebut hasilnya harus sama dengan 17.  Jika tidak demikian maka cari faktor-faktor  bilangan yang lain hingga jumlah hasil kali silang faktor-faktornya sesuai.

Maka solusi untuk contoh diatas adalah:

12X^2  + 17X +  6 = 0 ======> ( 4X + 2 )( 3X  - 3 )=  0

Kesimpulan.

• Cara coba-coba dalam menentukan faktor-faktor  dari bilangan-bilangan a dan c yang memenuhi kriteria tertentu ( jumlah hasil kali silang dari faktor bilangan-bilangan tersebut adalah b ) masih tetap dipakai.
• Pemfaktoran menjadi relatif lebih sederhana karena yang difaktorkan adalah bilangan-bilangana dan c.

Read More

Tips Dan Trik Cara Belajar Yang Baik Untuk Ujian/Ulangan Pelajaran Sekolah Bagi Siswa SD, SMP, SMA serta Mahasiswa Oleh Ali Khan Su'ud

Belajar merupakan hal yang wajib dilakukan oleh para pelajar dan mahasiswa. Belajar pada umumnya dilakukan di sekolah ketika jam pelajaran berlangsung dibimbing oleh Bapak atau Ibu Guru. Belajar yang baik juga dilakukan di rumah baik dengan maupun tanpa PR/Pekerjaan Rumah. Belajar yang dilakukan secara terburu-buru akibat dikejar-kejar waktu memiliki dampak yang tidak baik.


Berikut ini adalah tips dan triks yang dapat menjadi masukan berharga dalam mempersiapkan diri dalam menghadapi ulangan atau ujian :


1. Belajar Kelompok
Belajar kelompok dapat menjadi kegiatan belajar menjadi lebih menyenangkan karena ditemani oleh teman dan berada di rumah sendiri sehingga dapat lebih santai. Namun sebaiknya tetap didampingi oleh orang dewasa seperti kakak, paman, bibi atau orang tua agar belajar tidak berubah menjadi bermain. Belajar kelompok ada baiknya mengajak teman yang pandai dan rajin belajar agar yang tidak pandai jadi ketularan pintar. Dalam belajar kelompok kegiatannya adalah membahas pelajaran yang belum dipahami oleh semua atau sebagian kelompok belajar baik yang sudah dijelaskan guru maupun belum dijelaskan guru.


2. Rajin Membuat Catatan Intisari Pelajaran
Bagian-bagian penting dari pelajaran sebaiknya dibuat catatan di kertas atau buku kecil yang dapat dibawa kemana-mana sehingga dapat dibaca di mana pun kita berada. Namun catatan tersebut jangan dijadikan media mencontek karena dapat merugikan kita sendiri.


3. Membuat Perencanaan Yang Baik
Untuk mencapai suatu tujuan biasanya diiringi oleh rencana yang baik. Oleh karena itu ada baiknya kita membuat rencana belajar dan rencana pencapaian nilai untuk mengetahui apakah kegiatan belajar yang kita lakukan telah maksimal atau perlu ditingkatkan. Sesuaikan target pencapaian dengan kemampuan yang kita miliki. Jangan menargetkan yang yang nomor satu jika saat ini kita masih di luar 10 besar di kelas. Buat rencana belajar yang diprioritaskan pada mata pelajaran yang lemah. Buatlah jadwal belajar yang baik.


4. Disiplin Dalam Belajar
Apabila kita telah membuat jadwal belajar maka harus dijalankan dengan baik. Contohnya seperti belajar tepat waktu dan serius tidak sambil main-main dengan konsentrasi penuh. Jika waktu makan, mandi, ibadah, dan sebagainya telah tiba maka jangan ditunda-tunda lagi. Lanjutkan belajar setelah melakukan kegiatan tersebut jika waktu belajar belum usai. Bermain dengan teman atau game dapat merusak konsentrasi belajar. Sebaiknya kegiatan bermain juga dijadwalkan dengan waktu yang cukup panjang namun tidak melelahkan jika dilakukan sebelum waktu belajar. Jika bermain video game sebaiknya pilih game yang mendidik dan tidak menimbulkan rasa penasaran yang tinggi ataupun rasa kekesalan yang tinggi jika kalah.


5. Menjadi Aktif Bertanya dan Ditanya
Jika ada hal yang belum jelas, maka tanyakan kepada guru, teman atau orang tua. Jika kita bertanya biasanya kita akan ingat jawabannya. Jika bertanya, bertanyalah secukupnya dan jangan bersifat menguji orang yang kita tanya. Tawarkanlah pada teman untuk bertanya kepada kita hal-hal yang belum dia pahami. Semakin banyak ditanya maka kita dapat semakin ingat dengan jawaban dan apabila kita juga tidak tahu jawaban yang benar, maka kita dapat membahasnya bersama-sama dengan teman. Selain itu


6. Belajar Dengan Serius dan Tekun
Ketika belajar di kelas dengarkan dan catat apa yang guru jelaskan. Catat yang penting karena bisa saja hal tersebut tidak ada di buku dan nanti akan keluar saat ulangan atau ujian. Ketika waktu luang baca kembali catatan yang telah dibuat tadi dan hapalkan sambil dimengerti. Jika kita sudah merasa mantap dengan suatu pelajaran maka ujilah diri sendiri dengan soal-soal. Setelah soal dikerjakan periksa jawaban dengan kunci jawaban. Pelajari kembali soal-soal yang salah dijawab.


7. Hindari Belajar Berlebihan
Jika waktu ujian atau ulangan sudah dekat biasanya kita akan panik jika belum siap. Jalan pintas yang sering dilakukan oleh pelajar yang belum siap adalah dengan belajar hingga larut malam / begadang atau membuat contekan. Sebaiknya ketika akan ujian tetap tidur tepat waktu karena jika bergadang semalaman akan membawa dampak yang buruk bagi kesehatan, terutama bagi anak-anak.


8. Jujur Dalam Mengerjakan Ulangan Dan Ujian
Hindari mencontek ketika sedang mengerjakan soal ulangan atau ujian. Mencontek dapat membuat sifat kita curang dan pembohong. Kebohongan bagaimanapun juga tidak dapat ditutup-tutupi terus-menerus dan cenderung untuk melakukan kebohongan selanjutnya untuk menutupi kebohongan selanjutnya. Anggaplah dengan nyontek pasti akan ketahuan guru dan memiliki masa depan sebagai penjahat apabila kita melakukan kecurangan.


Semoga tips cara belajar yang benar ini dapat memberikan manfaat untuk kita semua. Aamiin... ^_^_^

Read More

rangkuman integral

INTEGRAL TAK TENTU (TANPA BATAS) INTEGRAL SUBSTITUSI INTEGRAL TRIGONOMETRI INTEGRAL PARSIAL INTEGRAL TERTENTU PENERAPAN INTEGRAL : LUAS, VOLUME, PANJANG BUSUR, LUAS BIDANG PUTAR


Catatan, tanda ^ artinya pangkat.


Rumus Integral Tak Tentu


ʃ x^n dx = 1/n+1 x^(n + 1) + C untuk n ≠-1
ʃ 1/x dx = ʃ x^-1 dx = ln x + C


Sifat-sifat integral tak tentu :


ʃ a dx = ax (a = konstanta/bilangan)
ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx (k = konstanta)
ʃ f(x) ± g(x) dx = ʃ f(x)dx + ʃ g(x) dx




Integral Substutusi


Integral perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain.


Bentuk : ʃ g(x) f^n (x) dx


Syarat : g(x) = k. f’(x)dx, k = bilangan pengali (-3/4,-1/2, 1, 2,...) k≠0


Rumus :
ʃ g(x) f^n (x)dx = {g(x) / (n+1)f ’ (x) } . f^n+1 (x) + C






Integral Trigonometri


ʃ sin x dx = - cos x + C
ʃ cos x dx = sin x + C
ʃ sin U dx = {- 1/U’ } cos U + C
ʃ cos U dx = {1/U' } sin U + C
dengan U’ turunan pertama dari U


Rumus-Rumus Integral Trigonometri




ʃ tg U dx = 1/U’ ln l cosU l + C ʃ ctg U dx = 1/ U’ ln l sinU l + C ʃ sec U dx = 1/U’ ln l sec+tgU l + C ʃ cosec U dx = 1/U’ ln l cosecU + cotgU l + C
Integral Parsial
Bentuk Umum : ʃ U dv = U V - ʃ V du
Atau Rumus Tanzalin : ʃ f(x) . g(x) dx = f(x) ʃ g(x) f ‘ (x) ʃʃ g(x) dx f “(x) ʃʃʃ g(x) dx


u dv kali+1 kali-1 kali+1


Catatan :


Rumus ini diterapkan sampai f(x) mencapai konstanta tertentu.


f(x) diturunkan sedangkan g(x) diintegralkan


Jika f(x) pangkat dua : f(x) diturunkan dua kali g(x) diintegralkan tiga kali.




Contoh : ʃ x^2 sinx dx = ....


Kita selesaikan dengan : ʃ U dv = U V - ʃ V du


Misal U = x^2 du = 2x dx dv = sin x V = ʃ sin x dx = -cos x


ʃ x^2 sinx dx = x^2 . (-cos x) - ʃ -cos x 2x dx


= -x^2 cos x + ʃ 2x.cos x dx


= -x^2 cos x + [ 2x sinx - ʃ sin x . 2 dx]


= -x^2 cos x + [ 2x sinx – (-2 cos x) ]


= -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C


Sangat ringkas kalau diselesaikan dengan Rumus Tanzalin :




ʃ x^2 sinx dx =


Misal f(x) = x^2 diturunkan hingga mencapai konstanta 2


g(x) = sin x diintegralkan


Langkah 1 : f(x) ʃ g(x) = x^2 (-cos x) kali +1 = -x^2 cos x


Langkah 2 : f ‘ (x) ʃʃ g(x) dx = 2x . (-sin x) kali -1 = +2x sin x


Langkah 3 : f “ ʃʃʃ g(x) dx = 2 . cos x kali +1 = + 2 cos x


Jangan lupa tambahkan C


Jadi ʃ x^2 sinx dx = -x^2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C




Sebelum melanjutkan ke integral tertentu, kita kasih contoh soal dulu :


Contoh soal :


ʃ 3x √(x^2-3) dx = ........


Menjawab soal ini dgn cara substitusi atau cara parsial??


Kita uraikan dulu :


Misal : g(x) = 3x
f(x) = x^2-3, sehingga f ‘(x) = 2x
Ternyata dapat diperoleh hubungan g(x) = 3/2 f ‘(x) ------à 3x=3/2 . 2x


Jadi gunakan penyelesaian cara substitusi. Ingat, Integral Substitusi adalah perkalian dua buah fungsi dimana fungsi yang satu merupakan kelipatan dari turunan pertama fungsi yang lain. Bentuknya ʃ g(x) f^n(x) dx. Syaratnya : g(x) = k. f ‘(x). k = bilangan pengali ≠ 0.


Jadi Penyelesaian Soal : ʃ 3x √(x^2-3) dx = ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx


Ingat Rumus yang ini : ʃ g(x) f^n(x) dx = g(x) / {(n+1) f ‘(x)} . f ^(n+1) (x) dx + C


ʃ 3x (x^2-3)^1/2 dx = 3x / {(1/2+1).2x} . (x^2 – 3)^(1/2+1) + C




= 3x / (3/2.2x) . (x^2 – 3)^3/2 + C




= (x^2 – 3)^3/2 + C




= (x^2 – 3) √(x^2 – 3) + C


Selesaikan soal sangat mudah berikut dgn menggunakan Rumus Integral Substitusi :


ʃ 4(2x-5)^3 dx = .....................






Contoh Penyelesaian Soal Integral dengan cara Parsial :


ʃ 4x (2x + 5)^4 dx = .............


Soal seperti ini lebih baik dikerjakan dgn cara Parsial dari pada cara Substitusi.


f(x) = 4x cukup diturunkan satu kali hingga mencapai konstanta 4


g(x) = (2x+5)^4 diintegralkan dua kali, karena f(x) nya cuma diturunkan satu kali.


Gunakan Rumus Tanzalin : ʃ f(x).g(x) = f(x) ʃ g(x) dx f ‘(x) ʃʃ g(x) dx (cukup sampai sini


kali +1 kali -1


karena sudah mencapai konstanta)


Langkah 1 : 4x. 1/10 (2x+5)^5 kali +1


Langkah 2 : 4. 1/120 (2x+5)^6 kali -1


= 2/5 x (2x+5)^5 – 1/30 (2x+5)^6 + C


= 1/30 (2x+5)^5 (12x – (2x+5)) + C


= 1/30 (2x+5)^5 (10x – 5) + C




Integral Tertentu


Integral yang dilengkapi dengan batas daerah definisinya.


Bentuk Umum :


ʃ [a,b] f(x) dx = [F(x)][a,b] = [F(x)) = F(b) – F(a)]


Sifat-sifat Integral Tertentu :


ʃ [a,b] [f(x) ± g(x)] = ʃ [a,b] f(x) dx ± ʃ [a,b] g(x) dx


ʃ [a,b] f(x) dx + ʃ [b,c] f(x) dx = ʃ [a,c] f(x) dx ------à a < b < c
ʃ [a,b] f(x) dx = - ʃ [b,a] f(x) dx
ʃ [a,b] k f(x) dx = k ʃ [a,b] f(x) dx
ʃ [a,a] f(x) = 0
Keterangan : [a,b] = a batas bawah, b batas atas.

Read More

mengapa - X - = + !

Sewaktu masih duduk di bangku SD ataupun di SMP, kita diajarkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Mungkin pada waktu itu kita terheran-heran mengapa bisa demikian halnya. Walaupun demikian, sedikit dari kita yang berani bertanya kepada bapak atau ibu guru kita tentang alasannya. Kalaupun ada diantara kita yang bertanya, banyak di antara guru matematika yang tidak tahu alasannya (mungkin kerena mereka juga tidak pernah bertanya mengapa begitu kepada guru mereka). Jadi kita hanya menerimanya saja tanpa tahu alasannya.
Secara intuisi kita dengan mudah menerima bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan yang negatif juga. Hal ini bisa dengan mudah kita jelaskan dengan contoh sebagai berikut: 5 x -4 = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = -20.
Tetapi perkalian dua bilangan negatif yang menghasilkan bilangan positif sangatlah tidak intuitif buat kita.
Mau tahu alasannya secara matematika? Inilah selangkah demi selangkah ilustrasi mengapa perkalian 2 bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.


1) Nol dikalikan dengan bilangan apa saja akan sama dengan nol, jadi 0 x N = 0.


2) Setiap bilangan mempunyai tepat satu bilangan yang disebut Invers Penjumlahan. Ini artinya adalah jika N sebuah bilangan positif, maka –N adalah invers penjumlahannya sehingga N + (-N) = 0. Demikian juga invers penjumlahan dari –N adalah N [karena (-N) + N = 0].


3) Hukum distributif, yaitu: a x (b+c) = a x b + a x c, juga berlaku untuk bilangan negatif.


4) Berikutnya, akan diperlihatkan bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan negatif. Untuk “membuktikan”nya kita akan menggunakan argumen nomor 1 sampai dengan 3 di atas.
Kita ambil contoh perkalian berikut ini : 3 x ( 4 + (-4) ). Hal ini sama artinya 3 x (0) = 0 (berdasar argumen nomor 1 di atas). Dengan menggunakan hukum distributif (argumen no 3) maka perkalian di atas menjadi sebagai berikut 3 x 4 + 3 x (-4) = 0. Berdasar argumen nomor 2, maka dapat diambil kesimpulan 3 x (-4) adalah invers penjumlahan dari 3 x 4. Kita tahu bahwa 3 x 4 = 12, dan invers penjumlahan 12 adalah -12. Maka 3 x (-4) pastilah sama dengan -12. Jadi kita telah ''membuktikan'' bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan negatif.


5) Sekarang akan diperlihatkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Untuk “membuktikan” hal itu kita akan menggunakan argumen nomor 1 sampai dengan 4 di atas. Kita ambil contoh perkalian berikut ini: -3 x ( 7 + (-7) ). Hal ini sama artinya -3 x (0) = 0 (berdasar argumen nomor 1 di atas). Dengan menggunakan hukum distributif (argumen nomor 3) maka perkalian di atas menjadi sebagai berikut -3 x 7 + (-3) x (-7) = 0. Berdasar argumen nomor 2, maka dapat diambil kesimpulan (-3) x (-7) adalah invers penjumlahan dari -3 x 7. Kita tahu bahwa -3 x 7 = -21 (berdasar argumen nomor 4), dan invers penjumlahan -21 adalah 21. Maka (-3) x (-7) pastilah sama dengan 21. Jadi kita telah ”membuktikan” bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif.

Read More

soal matematika simple tapi edan

Akar-akar persamaan ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 adalah cos(2Pi/7), cos(4Pi/7) dan cos(6Pi/7), dimana a, b, c dan d adalah bilangan bulat. Tentukan nilai a, b, c dan d.


solusi


 misal x = 2pi/7
2sinx.cosx = sin2x
2sinx.cos3x = sin 4x - sin2x
2sinx.cos5x = sin6x - sin4x
----------------------------------(+)
2sinx(cosx+cos3x+cos5x)=sin6x=-sinx
cosx+cos3x+cos5x=-1/2

cos2pi/7 + cos6pi/7 + cos10pi/7 = -1/2

utk cos10pi/7 = cos(pi + 3pi/7) = -cos3pi/7 = -(cos(pi-4pi/7) = -(-cos4pi/7) = cos4pi/7

shg cos2pi/7 + cos4pi/7 + cos6pi/7 = -1/2


x = 2pi/7
cosx.cos3x.cos5x = 1/2(cos4x+cos2x).cos5x
=1/2(cos4x.cos5x + cos2x.cos5x)
=1/4(cos9x + cosx + cos7x + cos3x)
=1/4(cos2x + cosx + 1 + cos3x)
=1/4(1 + cosx + cos2x + cos3x)
=1/4(1 + cos2pi/7 + cos4pi/7 + cos6pi/7)
= 1/4(1 + (-1/2))
=1/8


cosx.cos3x + cosx.cos5x + cos3x.cos5x =
1/2[cos4x + cos2x + cos6x + cos4x + cos 8x + cos 2x]=
1/2[2.cos2x + 2.cos4x + cos6x + cos8x]
karena cos8x = cos(7x+x)=cosx=cos(7x - x)=cos6x, maka didapat
=1/2[2.cos2x + 2.cos4x + 2cos6x]
=cos2x + cos4x + cos6x
=cos(7x-2x) + cos(7x-4x) + cos(7x - 6x)
=cos5x + cos3x + cosx = -1/2


diperoleh
-b/a = -1/2
c/a = -1/2
-d/a = 1/8

sehingga polinom tsb
x^3 + 1/2 x^2 - 1/2 x + 1/8=0 atau 8x^3 + 4x^2 - 4x + 1=0

Read More

limit contoh soal 5

Read More

limit contoh soal 4

Read More

limit contoh soal 3

Read More

limit contoh soal 2

Read More