Catatan Integral part II

ket: ^=pangkat

^2=pangkat 2

ln=logaritma natural

tan^(-1) x= arc tan x

∫u du = (1/2) u^2 + C

∫u dv = uv - ∫v du

∫u^n du = (1/(n+1)) u^(n+1) + C

∫(1/u) du = ln |u| + C

∫e^u du = e^u + C

∫a^u du = (a^u)/(ln a) + C

∫sec^2 u du = tan u + C

∫csc^2 u du = -cot u + C

∫sec u tan u du = sec u + C

∫csc u cot u du = - csc u + C

∫tan u du = ln |sec u| + C

∫cot u du = ln |sin u| + C

∫sec u du = ln |sec u + tan u| + C

∫csc u du = ln |csc u - cot u| + C

∫sin^ u du = u/2 - (sin 2u)/4 + C

∫cos^2 u du = u/2 + (sin 2u)/4 + C atau ∫cos^2 u du = ∫(1/2)(1+cos 2u) du

∫tan^2 u du = (tan u) - u + C

∫cot^2 u du =  (-cot u) - u + C

∫sin^3 u du = (-1/3)(2+sin^2 u)cos u + C

∫cos^3 u du = (1/3)(2+cos^2 u)sin u + C

∫tan^3 u du = (1/2)(tan^2 u) + ln |cos u| + C

∫cot^3 u du = (-1/2)(cot^2 u) - ln |sin u| + C

∫sec^3 u du = (1/2)(sec u tan u) + (1/2)(ln |sec u + tan u| + C

∫csc^3 u du = (-1/2)(csc u ctg u) + (1/2)(ln |csc u - cot u| + C

∫sin^n u cos^m u du = {-(sin^(n-1) u cos^(m+1) u)/(n+m) + ((n-1)/(n+m))∫sin^(n-2) u cos^m u du

∫u sin u du = (sin u) - u cos u + C

∫u cos u du = (cos u) + u sin u + C

∫u^n sin u du = - u^n cos u + n∫u^(n-1) cos u du

∫u^n cos u du =  u^n sin u - n∫u^(n-1) sin u du

ʃ1/x dx = x ln x - x + c

integral fungsi hiperbolik:

∫sinh u du = cosh u + C

∫cosh u du = sinh u + C

∫tanh u du = ln |cosh u| + C

∫coth u du = ln |sinh u| + C

∫sech u du = tan^(-1) |sinh u| + C

∫csch u du = ln |tanh u/2| + C

Read More

rumus tercepat deret kombinasi

Tahukah anda bagaimana cara menentukan hasil dari deret kombinasi berikut ::

4C1 + 2(4C2) + 3(4C3) + 4(4C4) ???

6C1 + 2(6C2) + 3(6C3) + 4(6C4) + 5(6C5) + 6(6C6) ???

atau mungkin 99C1 + 2(99C2) + 3(99C3) + .................98(99C98) + 99(99C99) ???

Caranya, gunakan rumus d * 2^(d-1) ^_^

4C1 + 2(4C2) + 3(4C3) + 4(4C4) = 4 + 4.3 + 4.3 + 4 = 32

Nah, sekarag kita coba buktikan dgn rumus tadi, maka::

d = 4

4 * 2^(4-1) = 32

gimana ? hasilnya sama kan ? ^_^

6C1 + 2(6C2) + 3(6C3) + 4(6C4) + 5(6C5) + 6(6C6) = 6 + 6.5 + (6.5.4)/2! + (6.5.4)/2! + 6.5 + 6 = 192

6 * 2^5 = 192

sama jga kn ? ^_^

Jadi , 99C1 + 2(99C2) + 3(99C3) + .........99(99C99) = 99 * 2^98

1.000.000.000C1 + 2(1.000.000.000C2) + ........ 1.000.000.000(1.000.000.000C1.000.000.000) = 1.000.000.000 * 2^9.99.999.999

Mudah kan ?! ^_^

SELAMAT MENCOBA ..

Syukron katsiron...

by : D'Af

WebRepOverall rating

Read More

GENERATING FUNGTION

Rumus-Rumus penting pada generating fungtion:

1) 1+x+x"+x"'+....x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)

2) 1+x+x"+.......=1/(1-x)

3) (1+x)^n=1+C(n,1)x+C(n,2)x"+...+C(n,r)x^r+...+C(n,n)x^n

4) (1-x^m)^n=1-C(n,1)x^m+C(n,2)x^(2m)+....+(-1)^r(C,r)x^(rm)+...+(-1)^n C(n,n)x^(nm).

5)1/(x-1)^n=[(sigma (0 sampai tak hingga)) x^i]^n=(sigma (0 sampai tak hingga)) C(n+i-1, i) x^i

6) Jika h(x)=f(x).g(x), dimana f(x)=a0+a1x+a2x^2+.... dan g(x)=b0+b1x+b2x^2+.... maka

h(x)=a0b0+(a1b0+a0b1)x+(a2b0+a1b1+a0b2)x^2 + .... +(arb0+a_r-1 . b1+a_r-2 . b2+.....(a0br)x^r.

7. Koefisien x^r pada (1+x+x"+...)^n adalah C(r+n-1,r).

Contoh:

Tentukan koefisien x^11 dari (1+x+x"+x"'+x^4)^7

jawab: dengan menggunakan rumus pertama didapatkan:

(1+x+x"+x"'+x^4)^7=[(1-x^(5))/(1-x)]^7=[(1-x^5)]^7.[1/(1-x)]^7

[1-x^5]^7=1-C(7,1)x^5+C(7,2)x^10+....-C(7,7)x^(35) dari rumus ke 4

1/(1-x)=1+x+x"+x"'+....... dari rumus ke 2 maka, [1/(1-x)]^7=1+C(7,1)x+C(8,2)x"+C(9,3)x"'+.... dari rumus 7

Maka:

[(1-x^5)]^7.[1/(1-x)]^7=[1-C(7,1)x^5+C(7,2)x^10+....-C(7,7)x^(35)]

[1+C(7,1)x+C(8,2)x"+C(9,3)x"'+....]

Koefisien x^11 adalah jumlah perkalian dari pasangan-pasangan berikut:

koefisien x^0 dan koefisien x^11

koefisien x^5 dan koefisien x^6

koefisien x^10 dan koefisien x^1

maka koefisien x^11 adalah:

1.C(11+7-1,11)+(-C(7,1))C(6+7-1, 6)+C(7,2).C(1+7-1,1)=....

CONTOH II

Banyaknya cara memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana dimana tiap tipe dari 2 dan 6 yang terpilih.... akan dijawab kapan-kapan... bagi yang berminat silahkan jawab sebagai latihan....

Read More