Basis Bilangan

Selama ini kita mengenal bilangan basis 10, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 19, 20, ….

Ini merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota adalah 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Setiap bilangan desimal itu mempunyai bentuk:

an.10^n + …. + a3.10^3 + a2.10^2 + a1.10^1 + a0.10^0

Dengan “an” adalah bilangan cacah yang kurang dari 10.

Misal, 12 bisa ditulis : 12 = (1.10^1) + (2.10^0) = (1.10) + (2.1) = 10 + 2 = 12

Bagaimana dengan bilangan: 1, 10, 11, 100, 110, …?

Ini merupakan bilangan basis 2 dengan angka terbesar adalah 1. Pada bilangan basis 2 banyaknya anggota adalah 2, yaitu 0 dan 1.

Keterangan:

1dua = 1

10dua = 2

11dua = 3

100dua = 4

101dua = 5

Menulisnya: 10dua artinya 10 di dalam basis 2. Jika tidak ditulis maka dianggap basis 10. Begitu pula untuk basis yang lainnya, menulisnya 10dua, 10tiga, 10empat, 10lima, 10enam, 10tujuh, 10delapan, 10sembilan, dst.

(Untuk menulisnya mungkin bisa dengan cara yang lain, seperti 10_2, 10(2), dll. Tetapi kali ini yang digunakan adalah penulisan seperti di atas).

Untuk bilangan selain desimal (bilangan basis 2 hingga 16) kita perhatikan uraian berikut:

Bilangan Basis 2 (Biner)

Bilangan basis 2 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 2, yaitu 0 dan 1.

Contoh :

1dua = (1.2^0) = 1

10dua = (1.2^1) + (0.2^0) = 2 + 0 = 2

11dua = (1.2^1) + (1.2^0) = 2 + 1 = 3

100dua = (1.2^2) + (0.2^1) + (0.2^0) = 4 + 0 + 0 = 4

101dua = (1.2^2) + (0.2^1) + (1.2^0) = 4 + 0 + 1 = 5

Bilangan Basis 3

Bilangan basis 3 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 3, yaitu 0, 1 dan 2.

Contoh :

1tiga = (1.3^0) = 1

2tiga = (2.3^0) = 2

10tiga = (1.3^1) + (0.3^0) = 3 + 0 = 3

11tiga = (1.3^1) + (1.3^0) = 3 + 1 = 4

12tiga = (1.3^1) + (2.3^0) = 3 + 2 = 5

Bilangan Basis 4

Bilangan basis 4 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 4, yaitu 0, 1, 2 dan 3.

Contoh :

1empat = (1.4^0) = 1

3empat = (3.4^0) = 3

10empat = (1.4^1) + (0.4^0) = 4 + 0 = 4

12empat = (1.4^1) + (2.4^0) = 4 + 2 = 6

13empat = (1.4^1) + (3.4^0) = 4 + 3 = 7

Bilangan Basis 5

Bilangan basis 5 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 5, yaitu 0, 1, 2, 3 dan 4.

Contoh :

1lima = (1.5^0) = 1

4lima = (4.5^0) = 4

10lima = (1.5^1) + (0.5^0) = 5 + 0 = 5

12lima = (1.5^1) + (2.5^0) = 5 + 2 = 7

23lima = (2.5^1) + (3.5^0) = 10 + 3 = 13

Bilangan Basis 6

Bilangan basis 6 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 6, yaitu 0, 1, 2, 3 , 4 dan 5.

Contoh :

1enam = (1.6^0) = 1

5enam = (5.6^0) = 5

10enam = (1.6^1) + (0.6^0) = 6 + 0 = 6

15enam = (1.6^1) + (5.6^0) = 6 + 5 = 11

35enam = (3.6^1) + (5.6^0) = 18 + 5 = 23

Bilangan Basis 7

Bilangan basis 7 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 7, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

Contoh :

1tujuh = (1.7^0) = 1

6tujuh = (6.7^0) = 6

10tujuh = (1.7^1) + (0.7^0) = 7 + 0 = 7

15tujuh = (1.7^1) + (5.7^0) = 7 + 5 = 12

26tujuh = (2.7^1) + (6.7^0) = 14 + 6 = 20

Bilangan Basis 8

Bilangan basis 8 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 8, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.

Contoh :

1delapan = (1.8^0) = 1

7delapan = (3.8^0) = 7

10delapan = (1.8^1) + (0.8^0) = 8 + 0 = 8

16delapan = (1.8^1) + (6.8^0) = 8 + 6 = 14

42delapan = (4.8^1) + (2.8^0) = 32 + 2 = 34

Bilangan Basis 9

Bilangan basis 9 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 9, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8.

Contoh :

1sembilan = (1.9^0) = 9

8sembilan = (8.9^0) = 8

10sembilan = (1.9^1) + (0.9^0) = 9 + 0 = 9

22sembilan = (2.9^1) + (2.9^0) = 18 + 2 = 20

51sembilan = (5.9^1) + (1.9^0) = 45 + 1 = 46

Bilangan Basis 11

Bilangan basis 11 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 11, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan A.

(huruf A = 10)

Contoh :

1sebelas = (1.11^0) = 1

9sebelas = (9.11^0) = 9

Asebelas = (A.11^0) = (10.11^0) = 10 (ingat! A = 10)

10sebelas = (1.11^1) + (0.11^0) = 11 + 0 = 11

1Asebelas = (1.11^1) + (A.11^0) = (1.11^1) + (10.11^0) = 11 + 10 = 21 (ingat! A = 10)

Bilangan Basis 12

Bilangan basis 12 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 12, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A dan B.

(huruf A = 10, B = 11)

Contoh :

1duabelas = (1.12^0) = 1

9duabelas = (9.12^0) = 9

Aduabelas = (A.12^0) = (10.12^0) = 10 (ingat! A = 10)

Bduabelas = (B.12^0) = (11.12^0) = 11 (ingat! B = 11)

10duabelas = (1.12^1) + (0.12^0) = 12 + 0 = 12

1Aduabelas = (1.12^1) + (A.12^0) = (1.12^1) + (10.12^0) = 12 + 10 = 22 (ingat! A = 10)

2Bduabelas = (2.12^1) + (B.12^0) = (2.12^1) + (11.12^0) = 24 + 11 = 35 (ingat! B = 11)

Bilangan Basis 13

Bilangan basis 13 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 13, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B dan C.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12)

Contoh :

1tigabelas = (1.13^0) = 1

9tigabelas = (9.13^0) = 9

Ctigabelas = (C.13^0) = (12.13^0) = 12 (ingat! C = 12)

10tigabelas = (1.13^1) + (0.13^0) = 13 + 0 = 13

1Atigabelas = (1.13^1) + (A.13^0) = (1.13^1) + (10.13^0) = 13 + 10 = 23 (ingat! A = 10)

BCtigabelas = (B.13^1) + (C.13^0) = (11.13^1) + (12.13^0) = 143 + 12 = 155 (ingat! B = 11, C = 12)

Bilangan Basis 14

Bilangan basis 14 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 14, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C dan D.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13)

Contoh :

1empatbelas = (1.14^0) = 1

9empatbelas = (9.14^0) = 9

Dempatbelas = (D.14^0) = (13.14^0) = 13 (ingat! D = 13)

10empatbelas = (1.14^1) + (0.14^0) = 14 + 0 = 14

1Bempatbelas = (1.14^1) + (B.14^0) = (1.14^1) + (11.14^0) = 14 + 11 = 25 (ingat! B = 11)

ADempatbelas = (A.14^1) + (D.14^0) = (10.14^1) + (13.14^0) = 140 + 13 = 153 (ingat! A = 10, D = 13)

Bilangan Basis 15

Bilangan basis 15 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 15, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D dan E.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14)

Contoh :

1limabelas = (1.15^0) = 1

9limabelas = (9.15^0) = 9

Elimabelas = (E.15^0) = (14.15^0) = 14 (ingat! E = 14)

10limabelas = (1.15^1) + (0.15^0) = 15 + 0 = 15

1Dlimabelas = (1.15^1) + (D.15^0) = (1.15^1) + (13.15^0) = 15 + 13 = 28 (ingat! D = 13)

AElimabelas = (A.15^1) + (E.15^0) = (10.15^1) + (14.15^0) = 150 + 14 = 164 (ingat! A = 10, E = 14)

Bilangan Basis 16 (Hexadesimal)

Bilangan basis 16 merupakan kelompok bilangan dengan banyaknya anggota 16, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F.

(huruf A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 16)

Contoh :

1enambelas = (1.16^0) = 1

9enambelas = (9.16^0) = 9

Fenambelas = (F.16^0) = (15.16^0) = 15 (ingat! F = 15)

10enambelas = (1.16^1) + (0.16^0) = 16 + 0 = 16

1Fenambelas = (1.16^1) + (F.16^0) = (1.16^1) + (15.16^0) = 16 + 15 = 31 (ingat! F = 15)

AFenambelas = (A.16^1) + (F.16^0) = (10.16^1) + (15.16^0) = 160 + 15 = 175 (ingat! A = 10, F = 15)

MERUBAH BILANGAN KE BASIS 10 (DESIMAL)

Cara 1 : PENGUARAIAN

Contoh :

Ubah 234lima ke basis 10.

Jawab :

234lima = (2.5^2) + (3.5^1) + (4.5^0) = 50 + 15 + 4 = 69

Cara 2 : HORNER

Contoh :

Ubah 234lima ke basis 10.

Jawab :

   | 2    3      4

5 |      10    65

    --------------------- +

     2   13    69

jadi jwabannya 69

MENGUBAH BILANGAN BASIS 10 (DESIMAL) KE BASIS LAINNYA

Cara 1. OPERASI PEMBAGIAN

Untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan basis lainnya digunakan operasi pembagian dengan basisnya sambil memperhatikan sisanya.

Contoh :

Ubah 150 ke basis 8.

Jawab :

150 : 8 = 18 sisa 6

18 : 8 = 2 sisa 2

2 : 8 = 0 sisa 2note : untuk menuliskan basis 8 nya, pembacaan dilakukan dari bawah. Jadi jawabannya 226delapan 

Cara 2 : MENCARI GCD

Contoh :

Ubah 150 ke basis 8.

Jawab :

150 = 8 x 18 + 6

18 = 8 x 2 + 2

note : untuk menuliskan basis 8 nya, dibaca dari pembagi terkecilnya yaitu 2 lalu ke sisa nya. Jadi jawabannya 226delapan

atau

150 = 8 x 18 + 6

18 = 8 x 2 + 2

2 = 8 x 0 + 2 note : untuk menuliskan basis 8 nya, perhatikan sisanya, lalu pembacaan dilakukan dari bawah. Jadi jawabannya 226delapan 

Cara 3 :

PENGURAIAN

Contoh :

Ubah 150 ke basis 8.

Jawab :

150 = a.8^2 + b.8 +c

150 = 18 x 8 + 6

150 = (8x2 + 2)8 + 6

150 = 2x8^2 + 2x8 + 6

jadi dibaca 226delapan

LATIHAN I

Ubah ke basis 10

1. 2011tiga

Jawab :

Cara 1 : PENGUARAIAN

2011tiga

= (2.3^3) + (0.3^2) + (1.3^1) + (1.3^0)

= 54 + 0 + 3 + 1

= 58

Cara 2 : HORNER

   | 2    0    1    1

3 |       6  18   57

   -------------------------- +

      2   6  19   58

jadi jwabannya 58

2. 3021empat

Jawab :

3021empat

= (3.4^3) + (0.4^2) + (2.4^1) + (1.4^0)

= 192 + 0 + 8 + 1

= 201

3. 4223lima

Jawab :

4223lima

= (4.5^3) + (2.5^2) + (2.5^1) + (3.5^0)

= 500 + 50 + 10 + 3

= 563

4. 5253enam

Jawab :

5253enam

= (5.6^3) + (2.6^2) + (5.6^1) + (3.6^0)

= 1080 + 72 + 30 + 3

= 1185

5. 3136tujuh

Jawab :

3136tujuh

= (3.7^3) + (1.7^2) + (3.7^1) + (6.7^0)

= 1029 + 49 + 21 + 6

= 1105

6. 2675delapan

Jawab :

2675delapan

= (2.8^3) + (6.8^2) + (7.8^1) + (5.8^0)

= 1024 + 384 + 56 + 5

= 1469

7. 524enam

Jawab :

524enam

= (5.6^2) + (2.6^1) + (4.6^0)

= 180 + 12 + 4

= 196

8. 423lima

Jawab :

423lima

= (4.5^2) + (2.5^1) + (3.5^0)

= 100 + 10 + 3

= 113

9. 10203empat

  Jawab :

10203empat= (1.4^4) + (0.4^3) + (2.4^2) + ( 0.4^1) + (3.4^0)

= 256 + 0 + 32 + 0 + 3

= 291

Untuk cara hornernya dicoba sendiri ya… ^.^.^

LATIHAN II

1. Ubah 57 ke basis 2.

Jawab :

Cara 1. OPERASI PEMBAGIAN

57 : 2 = 28 sisa 1

28 : 2 = 14 sisa 0

14 : 2 = 7 sisa 0

7 : 2 = 3 sisa 1

3 : 2 = 1 sisa 1

1 : 2 = 0 sisa 1

Baca sisanya dari bawah, jadi jawabannya 111001dua

Cara 2. MENCARI GCD

57 = 2 x 28 + 1

28 = 2 x 14 + 0

14 = 2 x 7 + 0

7 = 2 x 3 + 1

3 = 2 x 1 + 1

1 = 2 x 0 + 1

Baca sisanya dari bawah, jadi jawabannya 111001dua

2. Ubah 257 ke basis 3.

Jawab :

257 = 3 x 85 + 2

85 = 3 x 28 + 1

28 = 3 x 9 + 1

9 = 3 x 3 + 0

3 = 3 x 1 + 0

1 = 3 x 0 + 1

Sehingga 257 = 100112tiga

3. Ubah 432 ke basis 12

Jawab :

423 : 12 = 35 sisa 3

35 : 12 = 2 sisa 11 (Ingat! B = 11)

2 : 12 = 0 sisa 2

Sehingga 423 = 2B3duabelas

4. Ubah 678 ke hexadesimal

Jawab :

678 : 16 = 42 sisa 6

42 : 16 = 2 sisa 10 (Ingat! A = 10)

2 : 16 = 0 sisa 2

Sehingga 678 = 2A6enambelas

5. Ubah 1011dua dalam basis 5

Jawab :

Ubah ke basis 10 dulu,

1011dua

= (1.2^3) + (0.2^2) + (1.2^1) + (1.2^0)

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Ubah ke basis 5,

11 = 5 x 2 + 1

2 = 5 x 0 + 2

11 = 21lima, sehingga 1011dua = 21lima

6. Ubah 110011001dua dalam basis 13

Jawab :

Ubah ke basis 10 dulu,

110011001dua

= (1.2^8) + (1.2^7) + (0.2^6) + (0.2^5) + (1.2^4) + (1.2^3) + (0.2^2) + (0.2^1) + (1.2^0)

= 256 + 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1

= 409

Ubah ke basis 13,

409 = 13 x 31 + 6

31 = 13 x 2 + 5

2 = 13 x 0 + 2

sehingga 110011001dua = 256tigabelas

Read More

rumus tercepat deret kombinasi

Tahukah anda bagaimana cara menentukan hasil dari deret kombinasi berikut ::

4C1 + 2(4C2) + 3(4C3) + 4(4C4) ???

6C1 + 2(6C2) + 3(6C3) + 4(6C4) + 5(6C5) + 6(6C6) ???

atau mungkin 99C1 + 2(99C2) + 3(99C3) + .................98(99C98) + 99(99C99) ???

Caranya, gunakan rumus d * 2^(d-1)    ^_^

4C1 + 2(4C2) + 3(4C3) + 4(4C4) = 4 + 4.3 + 4.3 + 4 = 32

Nah, sekarag kita coba buktikan dgn rumus tadi, maka::

d = 4

4 * 2^(4-1) = 32

gimana ? hasilnya sama kan ? ^_^

6C1 + 2(6C2) + 3(6C3) + 4(6C4) + 5(6C5) + 6(6C6) = 6 + 6.5 + (6.5.4)/2! + (6.5.4)/2! + 6.5 + 6 = 192

6 * 2^5 = 192

sama jga kn ? ^_^

Jadi , 99C1 + 2(99C2) + 3(99C3) + .........99(99C99) = 99 * 2^98

1.000.000.000C1 + 2(1.000.000.000C2) + ........ 1.000.000.000(1.000.000.000C1.000.000.000) = 1.000.000.000 * 2^9.99.999.999

Read More

Kunci Rahasia Agar Pintar Matematika

Perpanjang Sujud dan Puasa (No SARA) :

Dalam keadaan yang tidak stabil, perubahan kedudukan akan turut membantu memulihkan kesehatan. Dalam keadaan sujud, di mana posisi jantung lebih tinggi dari kepala membuat aliran darah mudah menuju ke kepala. Darah yang berisi oksigen itu memang sangat dibutuhkan oleh otak guna mengoptimalkan fungsinya. Karena itu, memperpanjang sujud, khususnya pada shalat tahajud, akan memberikan kesempatan kepada otak memenuhi kebutuhan oksigen secara maksimal. Selain itu, sujud dalam kedaan semua anggota tubuh beristirahat sangat membantu memperbaiki kestabilan.

Sedangkan puasa berfungsi menekan otak untuk melakukan pengimbangan memory. Hal ini dapat dilihat ketika seseorang berpuasa, otak akan banyak mengeluarkan omega 3 yang sangat dibutuhkan oleh sel-sel saraf. Di samping itu, puasa dapat menurunkan kadar kortisol dan memperbaiki mekanisme pelepasan kortisol. Kortisol dalam aksinya akan mencegah/menahan penggunaan glukosa oleh hipokampus, menghambat transisi sinapsis dan menyebabkan neuron/sel saraf luka (injury) serta kematian sel. Puasa juga dapat menurunkan level lipid peroksidase, yaitu suatu enzim yang dapat menghasilkan radikal-radikal bebas dan meningkatkan level dehidroepiandrosteron, yaitu suatu hormon yang penting untuk optimalisasi fungsi otak. Tidak mengherankan jika Rasullulah berkata bahwa puasa itu menyehatkan.

2. Perbanyak Latihan otak

Yang dimaksud dengan latihan otak adalah memberikan stimulasi kognitif, seperti berdiskusi tentang topik aktual, mengisi teka-teki, main catur, bermain Rubik’s, Bermain musik atau berkesenian, dapat membantu mempertahankan kemampuan kognitif. Latihan tersebut mendorong berkembangnya dendrit dan meningkatnya plastisitas sistem syarat pusat.

3. Permen Karet

Penelitian yang dilakukan Baylor College of Medicine melibatkan 108 siswa, 52 perempuan dan 56 laki-laki usia 13 hingga 16. Mereka dibagi dalam dua kelompok yang menguyah permen karet dan yang tidak, dalam pelajaran matematika. Setelah 14 pekan, semua mahasiswa melakukan ujian. Yang mengunyah permen karet menunjukkan nilai matematikanya naik 3%. Sementara hasil ujian akhir juga menunjukkan kenaikan secara signifikan, dibandingkan yang tidak mengunyah permen. Namun begitu belum ada kesimpulan mengapa hal itu bisa terjadi. “Beberapa peneliti menyimpulkan tingkat stres yang lebih rendah, menjadikan lebih bisa fokus dan menjelaskan mengapa mengunyah permen meningkatkan fokus dan konsentrasi,” kata Craig Johnston PhD, dosen di Baylor College of Medicine. Dia menambahkan penelitian itu menunjukkan potensi mengunyah permen terhadap prestasi akademik dalam kehidupan nyata.

4. Coklat

Penelitian mendapati senyawa yang terdapat di coklat dan disebut flavanols sangat membantu dalam melakukan tugas perhitungan matematika. Zat itu juga bisa mengurangi perasaan lelah, serta kekeringaan mental. Demikian penelitian yang dipresentasikan pada pertemuan tahunan Psychological Society Inggris. Prof David Kennedy dari Northumbria University yang merupakan penulis kedua laporan itu mengatakan, coklat sangat membantu tugas yang berhubungan dengan mental. Penemuan itu menunjukkan pelajar yang makan coklat, saat menghadapi ujian bisa mendapat nilai tinggi. Flavanols merupakan bagian senyawa kimia yang disebut polyphenols dan bekerja meningkatkan aliran darah ke otak. Penelitian itu dilakukan pada 30 sukarelawan yang harus mengerjakan tugas menghitung mundur 3 angka antara 800 hingga 999 yang dihasilkan oleh komputer. Penemuan itu menunjukkan relawan bisa menghitung lebih cepat dan lebih tepat setelah minum coklat. Namun hasilnya berbeda saat mengerjakan tugas hitung mundur 7 angka karena lebih rumit dan membutuhkan bagian otak yang berbeda. Penelitian itu juga mendapati rasa lelah melakukan perhitungan lebih kecil saat diberi minuman coklat, meskipun melakukan secara berulang kali selama berjam-jam.

Read More

penulisan matematika

Matriks

Gunakan tanda kurung utk mmbatasinya dan tanda ; utk spasi angka di dlmnya.

misalnya, matriks A (3 x 3).

[1 ; 1 ; 1]

[1 ; 1 ; 1]

[1 ; 1 ; 1]

Contoh yang lainnya : Misalnya matriks B (3 x 3).

(1/2 ; 0 ; 2/3)

(0 ; 2 ; 3/4)

(1 ; 1 ; 2)

Limit

Gunakan kurung siku.

Limit[x->0] (2x^2)/(x-1) = ...

Integral

Gunakan kurung siku utk batas.

Integral[0 sampai 1] (x''+2x) dx

Read More

puisi matematika

Cinta Himpunan Bilangan

Aku mencintaimu secara natural.

Ku mulai dengan satu langkah, dua, tiga,empa hingga akhir hayat.

Aku mencintaimu secara cacah.

Sebelum kumulai satu langkah itu, sama sekali aku belum mengenalimu.

Aku mencintamu secara bulat.

Menerimamu apa adanya, positif negatif dirimu, apa adanya.

Aku mencintaimu secara rasional.

Dapat kubuktikan kepadamu, betapa pentingnya dirimu bagi diriku.

Aku juga mencintai dirimu secara irasional.

Banyak hal yang tak mampu kuungkapkan, seberapa pantaskah diriku bagi dirimu.

Aku mencintaimu secara riil.

Sebab aku mencintaimu dengan rasional dan juga irasional.

Aku mencintaimu secara kompleks.

Ada perkara imajiner yang melengkapi diriku dan juga dirimu, tentunya.

Aku mencintaimu secara transenden.

Walau banyak masalah tak terselesaikan secara aljabar, aku tetap mencintaimu.

Aku mencintaimu secara biner.

Tak perlu berpanjang lebar. Cukup kau katakan, Ya atau Tidak.

Bahwa kau juga sama,

Read More

TIPS belajar MATEMATIKA

Setiap orang memiliki cara yang unik dalam belajar yang mungkin saja antara yang satu dengan yang lainnya saling berbeda. Oleh sebab tidaklah benar andai dikatakan bahwa model belajar yang satu lebih unggul dibanding model belajar yang lain. Semua tergantung dengan kebiasaan dan potensi masing-masing. Seseorang memang selalu memiliki kecenderungan terhadap model atau cara belajar tertentu. Apakah itu visual, auditorial ataupun kinestetik.

Dalam tulisan ini saya akan memberikan beberapa tips yang bisa Anda ikuti ketika belajar matematika. Beberapa tips mungkin saja cocok dengan Anda, tetapi mungkin juga beberapa tips yang lainnya kurang cocok. Tidak ada yang salah dengan hal itu! Yang perlu diperhatikan adalah Anda tahu potensi dan posisi atau cara dan model belajar yang cocok dan Anda rasakan berguna unntuk mendapatkan hasil belajar yang optimal.

Belajar Matematika tidak Seperti Menonton Olah Raga

Anda tidak bisa belajar matematika cukup dengan hanya datang ke kelas, melihat guru menerangkan lalu mengerjakan soal. Tetapi lebih dari itu, Anda harus terlibat aktif di dalam setiap proses pembelajaran. Selain datang dan hadir di ruangan kelas ketika pembelajaran berlangsung, Anda juga harus selalu memperhatikan apa yang sedang dijelaskan, membuat catatan setiap materi dengan baik dan tersusun rapih, mengerjakan beberapa pekerjaan rumah meskipun tidak diwajibkan oleh guru. Anda juga perlu belajar dalam jadwal yang teratur, tidak hanya belajar ketika akan diadakan tes. Seperti itulah proses belajar yangn harus Anda lalui.

Pada kenyataannya seringkali kebanyakan siswa sekolah bahkan seorang mahasiswa sekalipun, belajar lebih keras hanya ketika mereka akan menghadapi tes matematika. Sementara di lain waktu dia tidak pernah mengulangi pelajaran yang diterimanya di kelas. Belajar demikian tentunya tidak akan berhasil optimal.

Memahami Prinsip Dasar itu Penting

Walaupun ada saatnya Anda perlu menghapal beberapa bagian ketika belajar matematika, tetapi matematika bukanlah pelajaran hapalan. Sehingga untuk menguasai beberapa konsep matematika, menghapal rumus itu tidaklah cukup. Tentu berbeda halnya ketika Anda akan menghadapi tes pelajaran sejarah. Cukup menghapal nama, kejadian atau peristiwa sejarah atau waktu berupa sekumpulan tanggal, bulan dan tahun, sepertinya Anda bisa melewati tes itu dengan baik.

Selain menghapal beberapa rumus, Anda juga perlu mengetahui beberapa hal yang berkaitan dengan rumus itu, termasuk darimana rumus itu ditemukan (penurunannya), atau batasan-batasan apa saja yang harus dipenuhi agar rumus itu bisa digunakan dengan tepat.

Beberapa rumus seringkali bersifat umum, sehingga diperlukan identifikasi dan analisa jika ingin menggunakan rumus tersebut untuk menyelesaikan sebuah persoalan terkait. Jika Anda tidak memahami bagaimana rumus itu bekerja dan prinsip-prinsip yang ada dibalik rumus itu, bukan tidak mungkin menggunakan rumus justru menjadi terasa lebih sulit. Anda harus mengingat dan memperhatikan itu, atau malah Anda hanya akan mendapatkan jawaban yang keliru.

Matematika itu Ilmu Terstruktur

Matematika adalah ilmu terstruktur dan bertingkat. Hampir semua materi matematika yang akan Anda pelajari itu saling berkaitan. Untuk bisa memahami beberapa konsep lebih tinggi diperlukan pemahaman terhadap konsep di bawahnya. Sehingga agar tidak bermasalah dengan beberapa konsep di level yang lebih tinggi, konsep-konsep di level sebelumnya itu harus dikuasai.

Read More

tak hingga triple Phytagoras

3=2^-1^2

5=3^2-2^2

smpe 9=5^2-4^2 sam aj dg 3^2=5^2-4^2 brrti triple pytagoransnya 3, 4, 5

trus ane lihat di KMA ad yg nemukan 49 pasang triple pytagoras

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

13 84 85

15 112 113

17 144 145

19 180 181

21 220 221

23 264 265

25 312 313

27 364 365

29 420 421

31 480 481

33 544 545

35 612 613

37 684 685

39 760 761

41 840 841

43 924 925

45 1012 1013

47 1104 1105

49 1200 1201

51 1300 1301

53 1404 1405

55 1512 1513

57 1624 1625

59 1740 1741

61 1860 1861

63 1984 1985

65 2112 2113

67 2244 2245

69 2380 2381

71 2520 2521

73 2664 2665

75 2812 2813

77 2964 2965

79 3120 3121

81 3280 3281

83 3444 3445

85 3612 3613

87 3784 3785

89 3960 3961

91 4140 4141

93 4324 4325

95 4512 4513

97 4704 4705

99 4900 4901

klo gtu ane bs nemui triple pytagoras smpe tak hingga

misal 101^2 maka pasangannya yaitu [(10201+1)/2] dan [(10201+1)/2]-1

note 10201 dpt dr 101^2

jd triple pytagorasnya 101 5101 5100

anda bs melanjutkan dg bil terkecil bil ganjil yaitu 103, 105, 107 dst,,, dg memanfaatkan bil

Smoga Ane jg yg pertama ya !!!

^__^

mhon komentarnya,,,, yg baik boleh, yg jelek jg boleh,,

terima kasih.

Nah sekarang giliran cara yang kedua, tapi sebelumnya saya mau memberikan sepatah empat paragraf sebagai pembukaan.

Triple Pythagoras terdiri dari tiga buah bilangan bulat positif, misalkan a, b, dan c, sehingga sedemikian rupa a² + b² = c². Jika (a, b, c) adalah triple Pythagoras, maka (ka, kb, kc) juga termasuk triple Pythagoras untuk k bilangan bulat positif.

Terdapat nama khusus untuk triple Pythagoras yang bilangan-bilangannya adalah coprime (memiliki KPK =1), yaitu “Triple Pythagoras Primitif”. Terdapat 16 “Triple Pythagoras Primitif” yang c ≤ 100, yaitu:

3, 4, 5

5, 12, 13

7, 24, 25

8, 15, 17

9, 40, 41

11, 60, 61

12, 35, 37

13, 84, 85

16, 63, 65

20, 21, 29

28, 45, 53

33, 56, 65

36, 77, 85

39, 80, 89

48, 55, 73

65, 72, 97

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi-sisi yang memenuhi formula a² + b² = c²; sehingga triple Pythagoras terdiri dari tiga buah bilangan bulat positif dari sisi-sisi pada segitiga siku-siku.

Namun, segitiga siku-siku dengan sisi non-bilangan bulat positif tidak membentuk triple Pythagoras. Misalkan a = b = 1, maka c = √2 memenuhi toerema Pythagoras, namun (1, 1, √2) bukanlah triple Pythagoras karena √2 adalah bilangan irrasional.

Ok deh segitu aja pembukaannya, sekarang lanjut ke cara menentukan triple Pythagoras yang kedua yang sudah diperbincangkan oleh kawan2 di comment di bawah.

Kita harus berterimakasih kepada Euclid (maka disebut Euclid's Formula) karena Beliau telah menemukan formula untuk membuat triple Pythagoras yang “lebih bebas” dalam artian tidak harus sisi terkecilnya adalah bilangan ganjil seperti cara pertama.

Formulanya mudah, jika triple Pythagoras a, b, c, maka

a = m² - n²; b = 2mn; c = m² + n² dengan m dan n nya suka2 kita dengan syarat m dan n adalah bilangan bulat positif, m > n

Contoh: m = 7 dan n = 5  maka:

a = 7² - 5² = 24

b = 2.7.5 = 70

c = 7² + 5² = 74

maka triple Pythagoras yang terbentuk adalah 24, 70, 74.

Lihat! Bilangan terkecilnya merupakan bilangan genap, bervariatif pula (tidak berurutan). Triple Pythagoras tersebut merupakan bentuk dari 12k, 35k, 37k dengan k =2. Selain itu triple Pythagoras 12, 35, 37 belum terdaftar di list triple Pythagoras yang dapat ditentukan dengan cara pertama diatas.

Menarik ga?? (buat saya sih menarik, hehhe)

Nah sedikit bocoran, kalo mau membentuk triple Pythagoras dengan cara kedua yang a, b, c merupakan bilangan-bilangan genap, maka gunakanlah m dan n yang bilangan ganjil.

So, sekarang ada 2 cara untuk membuat triple Pythagoras. Jadi silakan dimanfaatkan sesuai kebutuhan ya :D

Semoga bermanfaat..

(Ditunggu kritik dan sarannya ya, oiya temukan cara mendapatkan triple Pythagoras yang ketiga, keempat, dan seterusnya ya)

Read More

Daftar Integral (bagian 2)

∫u dv = u.v - ∫v du

∫u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C

∫1/u du = ln|u| + C

∫ e^u du = e^u + C

∫a^u du = (a^u)/ln a  + C

∫sin u du = -cos u + C

∫cos u du = sin u + C

∫sec^2 u du = tan u + C

∫csc^2 u du = -cot u + C

∫sec u.tan u du = sec u + C

∫csc u. cot u du = -csc u + C

∫tan u du = ln|sec u| + C

∫cot u du = ln|sin u| + C

∫sec u du = ln|sec u + tan u| + C

∫csc u du = ln|csc u - cot u| + C

∫1/√(a^2 - u^2) du = (1/a).arcsin(u/a) + C

∫ 1/(a^2 + u^2) du = (1/a).arctan(u/a) + C

∫1/(a^2 - u^2) du = (1/2a). ln|(u+a)/(u-a)| + C

∫1/u√(u^2 - a^2) du = (1/a).arcsec|u/a| + C

Read More

Mencari nilai Sinus dan Cosinus untuk sudut istimewa 36 dan 72

Cos 36, Sin 36, Cos72, Sin72, Cos18, Sin18, Cos54, Sin54??

Memang bisa kita cari?

Bagaimana caranya?

Ada banyak sekali metode menemukannya, akan tetapi akan saya berikan salah satu cara yang pertama kali saya gunakan untuk menemukannya.

kita manfaatkan sifat trigonometrii:

2sin36.cos36 = sin(36+36) - sin(36-36) = sin72 - sin0

2sin36.cos108 = sin(36+108) - sin(108-36) = sin144 - sin72

-------------------------------------------------------------------------------------(+)

2sin36[cos36 + cos108] = sin 144.

2sin36[cos36 + cos 108] = sin(180 - 144) = sin36

2[cos36 + cos 108] =1

cos36 + cos108 = 1/2 ------------------>(1)

nah coba perhatikan selanjutnya

cos 36 + cos 108 = 2.cos((36+108)/2).cos((36-108)/2) = 2cos72.cos(-36) = 2cos72.cos36

=2(-cos108).cos36

sehingga diperoleh

cos36.cos108 = -1/4 ----------------(2)

kita misalkan saja bahwa  cos 36 dan -cos108 merupakan akar2 persamaan dari

x^2 - ax + b =0

maka

x1 + x2 = cos36 + cos108 = a

x1.x2 = cos36.cos108 = b

tetapi a = 1/2 dan b=-1/4, maka persamaan kuadrat tadi adalah:x^2 - x/2 -1/4 = 0

4x^2 - 2x -1 = 0

dengan menggunakan rumus abc, diperoleh:

x1 = (2+V(4+4))/8 = (V5 + 1)/4

x2 = (-2+V(4+4))/8 = (1- V5)/4

karena cos108 bernilai negatif, maka diperoleh:cos 36 = (V5 + 1)/4

cos 108 = (1-V5)/4 --->cos72 = (V5 - 1)/4

nah untuk sudut 18, dan 54, nilai sinus dan cosinus jg bisa ditentukan sekarang

Read More

7 Identitas Kombinasi yang sebaiknya kita ketahui

Biar teman2 nambah informasi mengenai matematika, berikut ini 7 identitas kombinasi yang sebaiknya kita ketahui:

(1) Bentuk Faktorial

C(n,k) = n!/k!(n-k)!

(2) Kondisi Simetri

C(n,k) = C(n,n-k)

(3) "In-and-Out" formula (aneh kalau diterjemahkan: Rumus Masuk-Keluar ^_^)

C(n,k) = (n/k).C(n-1,k-1)

(4) Rumus Penjumlahan:

C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)

Rumus-rumus berikutnya diperoleh dari pengembangan identitas nomor 4

(5) Rumus Penjumlahan2 :

C(n,0) + C(n+1,1) + C(n+2,2) + ... + C(n+k,k) = C(n+k+1,k)

(6) Jumlah Perkalian:C(r,0).C(s,n) + C(r,1).C(s,n-1) + C(r,2).C(s,n-2) + ... + C(r,n).C(s,0) = C(r+s,n)

(7) Ekspansi Binomial (yang sering kita ketahui):sigma[k=0 s/d n] C(n,k).(x^k).y^(n-k) = (x+y)^n

dari 7 identitas di atas, yang paling sering diajarkan adalah yg no(1) no(2)dan no(7) paling tidak sekarang kita sudah tahu 4 identitas lainnya.

Read More

MENENTUKAN JUMLAH KOEFISIEN DARI SUATU POLINOM

Langsung ja masuk contoh..

Ada soal kyk gini:

Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom

P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011

Buat orang yg pertama ngerjain soal ini mungkin akan menjawab:

GILA JA GUE DISURUH NGITUNG JUMLAH SEMUA KOEFISIEN!!!

BEARTI GUE MESTI NGITUNG SATU-SATU KOEFISIEN DR x^0 , x^1, x^2, ... dst SAMPE x^4022, TERUS DI JUMLAHIN SEMUANY?? NYIKSA GUE NIMAH!!!  ^__^

sepintas memang terlihat susah. Tp mari kita coba selidiki..

Ada temen bilang gini, "klo mau nyari yg ribet2, mulailah dari yg sederhana terlebih dahulu"

ya udah, daripada kita langsung nyelidikin soal yg di atas, ga kebayang seberapa panjangny hasil penjabaran polinom itu. ^__^

anggap ja soalny kita ganti dengan polinom yg sudah terurai misal

P(x)= Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E

berapa ya jumlah koefisienny??

Gampang ya bearti jumlahny adalah:

A - B + C + D - E

apa hubunganny ya?

coba bandingkan bentuk:

Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E dengan bentuk A - B + C +D - E

bedany yg satu masih ada variabel x , satu lagi ga ada.

Bearti klo kita pengen ngitung jumlah seluruh koefisien, yang mesti kita pikirkan adalah bagaimana cara "MEMBUANG" variabel x dari rumusan polinom.

GIMANA YA CARANYA??!! ^_^ 

INGET, bentuk

Dx maknany adalah D "dikali" x

Nah kita pengen menghilangkan variabel x, dengan kata lain, sama ja kita pengen nyari:

D di kali x = D

nah bearti x=1 alias GANTI AJA NILAIi x dengan angka 1 ^__^

ya dah kita coba ja di soal beneran 

P(x) = 5x^7 - 2x^6 + 4x^5 + 3x^4 - 10x^3 + 7x^2 - 9x + 11 

dr penulusuran kita, cara untuk mencari jumlah semua koefisien adalah dengan mengganti x=1 atau kita cari nilai dr P(1), bearti:

P(1) = 5(1)^7 - 2(1)^6 + 4(1)^5 + 3(1)^4 - 10(1)^3 + 7(1)^2 - 9(1) + 11

P(1) = 5 - 2 + 4 + 3 - 10 + 7 - 9 + 11

"TERNYATA P(1)TAK LAIN ADALAH JUMLAH DR SEMUA KOEFISIEN"

KITA DAH DAPET KESIMPULAN, TINGGAL COBA KE MASALAH YG DI ATAS.

Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom

P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011

klo dijabarin akani membentuk:

P(x)=ax^4022 + bx^4021 + cx^4020 + . . . 

dengan jumlah koefisien adalah:

a + b + c + . . .  

sama aja dengan contoh yg sederhana td khan?? 

bearti kita tidak perlu menjabarkan, dan untuk menjawabny CUKUP dengan mencari nilai P(1)

Jd jumlah koefisien dr penjabaran P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011adalah:

P(1) = (5 - 7 + 3)^2011 = (1)^2011 = 1

GAMPANG KHAN?? ^__^

Read More