BACAAN ORANG PANDAI

Ada tiga orang mahasiswa diterima di Universitas Indonesia masing-masing pada Fakultas Teknik jurusan Metalurgi, Fakultas Ekonomi, dan Politeknik UI. Mereka berasal dari kampung yang miskin akan informasi tetapi otak mereka cukup encer untuk melewati test masuk Perguruan Tinggi Negeri. Kebetulan mereka berada di satu lokasi tempat kost.

Sebagai anak dari kampung, mereka merasa Jakarta terlalu luas jika ingin menyambanginya dengan berjalan kaki. Mereka sepakat menyewa sebuah motor untuk dipakai bergantian, dan harga sewa motor perhari Rp. 30.000,- Karena niatnya motor itu dipakai bersama secara bergantian, mereka membagi rata harga sewa itu, masing-masing menanggung Rp. 10.000.

Kebetulan mereka kenal seorang tukang ojek yang bernama pak Udin dan meminta bantuannya untuk mencarikan motor sewaan dengan menyerahkan uang penyewaan Rp. 30.000,- sebagai biaya sewa motor. Pak Udinpun melayani mereka dengan mendatangi juragan ojek yang memang usahanya adalah penyewaan motor, juragan itu bernama pak Kumis.

Sesampai di rumah pak Kumis, pak Udin menyapa: “Assalamualaikum pak Kumis... waaahh, motor sewaannya semakin banyak nih, banyak motor baru lagi ya?...” “Alhamdulillah, pak Udin. Tumben pagi2 datang kesini, mau setoran ya?” Kata pak Kumis. “Oooh bukan. Begini pak Kumis, saya sedang membantu tiga anak mahasiswa yang ingin menyewa motor, kebetulan mereka punya dana untuk sewa perharinya Rp. 30.000. Kan ini sama dengan tarif yang pak Kumis kenakan untuk penyewaan satu motor. Naaah saya kan sudah bawa pelanggan ni, kira-kira saya bisa dapat diskon pak? Masalah komisi, biar saya yang minta langsung ke mereka aja, pak Kumis tidak usah repot deh...” seraya pak Udin.

Pak Kumis pun menjawab senang “Oh diskon, bisa-bisaaa.. saya akan kasih pak Udin diskon Rp. 5.000, gimana?”

“Okeh-okeh... terimakasih pak Kumis...” sambut pak Udin dengan senang.

Maka dibayarlah sewa motor tersebut di muka Rp. 25.000,- setelah dipotong diskon dari pak Kumis.

Tak berapa lama pak Udin pun datang dengan membawa motor sewaan kepada ke tiga mahasiswa tadi. Dengan semangat para mahasiswa itu menyambut motor sewaan itu dengan gembira.

Pak Udin: “Naah ini motor yang saya sewa dari pak Kumis untuk kalian. Sebelumnya harga sewanya Rp. 30.000, tapi karena saya dekat dengan pak Kumis, dan saya mau berkata jujur dengan kalian bahwa saya mendapat diskon dari pak Kumis Rp. 5.000,- Untuk itu saya serahkan uang kelebihan ini, terserah adik2 mau kasih saya berapa, saya ikhlas”.

Para mahasiswa: “Oooh iya iya pak Udin, kami justru berterimakasih kepada pak Udin yang telah membantu untuk mencarikan motor dengan cepat, apalagi bapak dengan jujur menerangkan transaksi itu kepada kami. Agar diskon itu dapat dibagi rata dan kami pun tidak melupakan jasa pak Udin, biar kami ambil Rp. 3.000 yang akan kami bagi rata menjadi Rp. 1.000 per orang. Sedangkan sisa Rp. 2.000 nya untuk pak Udin. Semoga Tuhan memberkati hidup pak Udin, amieeeen” sambut mahasiswa serentak.

Sepulangnya pak Udin, ke tiga anak2 mahasiswa yang berotak encer ini menghitung2 biaya yang dikeluarkan sambil berbincang memuji2 kebaikan dan kejujuran pak Udin. “Wah tak disangka ya, orang Jakarta masih ada yang jujur begitu, saya tadinya malah mau ngasih tip lima ribu. Tapi mempertimbangkan kantong kita juga, pak Udin dikasih dua ribu juga sudah senang, yo wes lah...”

Namun sekonyong-konyong salah seorang mahasiswa Fakultas ekonomi menyela pembicaraan itu: “Tapi ndul... kalau aku hitung-hitung, masing-masing dari kita kan keluar Rp. 10.000 untuk sewa motor senilai Rp. 30.000. Kemudian dapat diskon dari pak Udin dan dibagi pada kita masing-masing terima Rp. 1.000. Maka biaya per orang yang dikeluarkan adalah Rp. 9.000. Jika biaya Rp. 9.000 itu kita kali 3, maka biaya yang kita keluarkan untuk menyewa motor ini adalah Rp. 27.000. Sedangkan pak Udin tadi Cuma kita kasih komisi Rp. 2.000,- Kalau dijumlahkan Rp. 27.000 + Rp. 2.000 = Rp. 29.000. Sedangkan kita tadi menitipkan uang ke pak Udin Rp. 30.000. Lho.... kalau begitu selisih Rp. 1.000 KEMANA????

Kontan ke tiga mahasiswa yang konon berotak encer itu memutar otaknya dengan keras. Satu jam belum ketemu kemana selisihnya. Dua jam, lima jam, hingga tiga hari tiga malam para mahasiwa itu berkutat untuk mencari selisih itu, tidak juga ketemu. Disamping ini merupakan teka-teki, merekapun sebenarnya sadar bahwa ada yang salah dalam perhitungan transaksi ini, padahal tidak ada pihak yang dirugikan. Sebagai insan akdemisi, mereka tertantang untuk mendapatkan jawabannya.

Anda mau tahu kenapa?

Hal penting yang harus dijadikan acuan adalah; bahwa semenjak permulaan penyewaan motor ini, ke tiga mahasiswa tadi sepakat untuk menanggung bersama-sama secara adil untuk mendapatkan motor dengan biaya sewa yang lebih tinggi dari kemampuannya. Untuk itu mereka bersatu menghimpun kekuatan financial untuk mencapai biaya sewa tersebut. Kemudian mereka menyuruh pak Udin, pak Udin mendatangi pak Kumis, pak Kumis bersedia memberikan diskon pada penyewaan motornya, dan diskon itupun dilaporkan oleh pak Udin kepada pemilik dana yaitu para mahasiswa tadi. Sampai disini belum ada hal yang terlihat aneh jika ingin diruntun ke belakang tentang transaksi yang terjadi.

Hal aneh baru terjadi dikala uang diskon sebesar Rp. 3.000 diklaim dan dibagikan kepada ke tiga mahasiswa dan Rp. 2.000 diberikan kepada pak Udin sebagai balas jasa. Jika diskon Rp. 5.000 tadi tetap tidak dibagi baik kepada ke tiga mahasiswa maupun ke pak Udin, dan pelacakan transaksi dilakukan bahwa biaya penyewaan motor Rp. 30.000 itu telah berkurang menjadi Rp. 25.000, maka tidak akan terjadi perhitungan yang aneh. Ini disebabkan masing-masing mahasiswa mengklaim dan membagikan diskon untuk memperhitungkan biaya yang dikeluarkan secara individu, sementara penyewaan motor masih dihitung secara kolektif dengan angka Rp. 30.000. Jadi ada gap angka yang dijadikan patokan antara biaya kolektif (Rp. 30.000) dikurangi diskon Rp. 5000, dengan perhitungan masing-masing individu (Rp. 9.000) dan digabungkan menjadi Rp. 27.000. Hal ini dikarenakan adanya pencampuran antara diskon kolektf (Rp. 5000) dengan diskon yang sudah dibagikan (Rp. 1000) pada masing2 mahasiswa. Artinya ada penetrasi individu dalam menghitung hasil dari kekuatan yang dicapai secara kolektif, sehingga asumsi yang dipakai akan menjadi kacau dan menciptakan ketimpangan2 baru.

Kisah ini memberikan pelajaran bagi orang yang mau berfikir; bahwa jika kepentingan individu diutamakan dalam sebuah tim, maka ia akan cenderung menyesatkan. Apalagi ketika mementingkan jatah yang akan diterima bagi masing-masing individu, ia akan lupa misi awalnya untuk mencapai kekuatan secara bersama, bukan sendiri-sendiri. Begitupula dengan cara hidup bergolong-golongan yang merupakan jenjang yang lebih tinggi dari kehidupan individualisme yang cenderung mencirikan keserakahan. Jika cara hidup bergolongan yang dianggap paling ideal, pasti kebenaran yang ada hanya akan bernilai nisbi-relatif. Benar kata satu golongan, belum tentu benar bagi yang lainnya. Tepat menurut sebuah golongan, bisa melenceng menurut golongan lain.

Perbedaan ini timbul karena masing-masing golongan memiliki program tersendiri untuk mencapai tujuannya, untuk membesarkan golongannya. Hal tunggal yang dianggap dapat membesarkan golongannya adalah kekuasaan. Karena kekuasaan yang dituju, maka materialistik akan menjadi jembatan sekaligus tujuan dengan pencapaian kekuasaan itu. Dan jika materi sudah dianggap sebagai tujuan hidup, maka golongan-golongan itu tidak akan memiliki idealisme, tidak punya program yang konsisten, tidak punya visi dan misi yang kokoh dan tidak dapat menjawab permasalahan orang-orang yang diwakilinya. Semua tergantung arus mana yang kuat membawanya.

Jika arus ke kanan yang kuat menariknya, maka perahu golongannya akan terseret ke kanan. Jika arus berbalik ke belakang, maka perahunya akan segera bermanuver ke belakang. Walaupun penumpang di dalamnya teguncang dan kacau karenanya, yang penting perahunya dapat mengikuti arus yang paling kuat dan tetap berlayar. Walaupun harus siap menerima resiko kehancuran perahunya, walaupun harus kehilangan buritannya sebagai motor pendorong utama.

Perahu-perahu kecil itu tidak mengetahui, bahwa sebentar lagi akan ada gelombang Tsunami yang akan memporakporandakan apa saja yang tidak memiliki dasar yang kuat. Akan menenggelamkan segala sesuatu yang tidak memiliki pegangan yang kokoh. Tinggal nanti para penumpangnya akan menyesali nasib, mengapa harus naik perahu-perahu yang mudah hanyut oleh arus kecil saja. Padahal mereka bisa turun dari perahu dan naik ke atas bukit, menuju ke tempat tinggi yang sejuk dan aman dari segala gangguan untuk membangun sebuah Kapal Induk yang Besar diatas bukit. Kapal Induk yang mampu melintasi berbagai tantangan menuju arah kehidupan yang fitrah bagi kemanusiaan.

Read More

ADA APA DENGAN BILANGAN 1001?

PERHATIKAN BAHWA 

1001 = 7 x 11 x 13 

Misalkan diberikan sebuah bilangan 585.576 

Apakah bilangan 589.576 habis dibagi 13 ? 

Karena 589.576 = 589(1000) + 576 

= 589(1001 - 1) + 576 

= 589(1001) - 589 + 576 

= 589(1001) – 13 

= 13 [(589 x 77) – 1 ] 

Berarti 589.576 habis dibagi 13 

Bagaimana dengan bilangan 546.897.351 ? 

Apakah habis dibagi 77 ? 

Karena ; 

546.897.351 =546(1000)^2 + 897(1000) + 351 

=546(1001-1)^2 + 897(1001-1) + 351 

=546(1001)^2 + 2(546)(1001) + 546 + 897(1001) – 897+ 351 

= 546(1001)^2 + 2(546)(1001) + 897(1001) + 546 – 897+ 351 

Habis dibagi 

= k x 77 + 0 

Berarti 546.897.351 habis dibagi 

Secara Ringkas 

Jika sebuah bilangan abc.def habis dibagi 7,11 dan/atau 13, maka def – abc harus habis dibagi 7,11 dan/atau 13 

Jika sebuah bilangan abc.def.ghi habis dibagi 7,11 dan/atau 13, maka (abc + ghi) – def harus habis dibagi 7,11 dan/atau 13 

Read More

Menghafal Perubahan sudut Daam trigonometri

Hm..kali ini kita akan membahas pelajaran trigonometri lagi, buat adik-adik yang pernah membahas persoalan trigonometri semua pasti kenal dengan sudut-sudut istimewa. Bagi yang gak tau, mari kita ingat-ingat lagi

Sudut-sudut Istimewa Pada Kuadran I

Nah, untuk memahami dan menghafalkan sudut-sudut trigonometri, kita harus hafal dulu tabel sudut-sudut istimewa diatas. Kalo sudah, sekarang kita pahami konsep kuadran I, II, III dan IV

Memahami Konsep Kuadran

Pada kuadran I (0 – 90) , semua nilai sin, tan dan cos bernilai positif —> “semua”

Pada kuadran II (90 – 180) ,  hanya sin bernilai positif —> sin dibaca “sindikat”

Pada kuadran II (180 – 270) , hanya tan bernilai positif —> tan dibaca “tangan”

Pada kuadran II (270 – 360) , hanya cos bernilai positif —>cos dibaca “kosong”

Jadi, untuk mengingat gambar diatas hafalkan kalimat : “Semua Sindikat Tangannya Kosong”

Mari sekarang, kita mempelajari tentang perubahan sudut.

Jika kita diminta untuk menghafalkan semua sudut-sudut trigonometri tentunya kesulitan karena tidak tahu konsepnya, seperti jika ditanya : berapa sin 330 ? Cos 315? tan 300 dan sebagainya. Pertanyaan tentang trigonometri sudut-sudut yang tidak ada pada tabel sudut istimewa tentunya membingungkan jika kita tidak tau cara praktisnya. Berikut akan saya bantu untuk memahaminya.

Misalkan kita mau menghitung sudut :

contoh 1 : Hitunglah nilai cos 210 ? 

cos 210 —-> berada dikuadran III —-> pasti negatif, jadi jawaban harusnegatif

cos 210 = cos (180 +30) = - cos 30 = -1/2√3

jadi nilai cos 210 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga)

contoh 2 : Hitunglah nilai sin 300 ?

sin 300 —-> berada di kuadran IV —-> pasti negatif, jadi jawaban harusnegatif

sin 300 = sin (270 + 30) = – cos 30 = 1/2√3

jadi nilai sin 300 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga)

Nah, saya yakin masih ada yang bingung kan?? Kok bisa  cos 210 = – cos 30, trus kok bisa sin 300 = – cos 30

Begini KONSEP nya : misalkan diketahui sudut sebesar x

JIka kita merubah sudut x menjadi sudut y maka kita dapat menggunakan patokan pada nilai 90, 180, 270, dan 360. Misalnya  sudut 210 = sudut (180 + 30) atau boleh juga sudut 210 = sudut (270 – 60), yang penting di ingat, kita harus merubah sudut tersebut sehingga mengandung sudut-sudut istimewa pada kuadran satu seperti 30, 45, 60, sehingga mudah untuk menghitungnya.

Untuk Perubahan Sudut tadi ada hal yang terpenting untuk di pahami

JIka kita menggunakan 90 dan 270 maka konsepnya “BERUBAH”

sin berubah menjadi cos

cos berubah menjadi sin

tan berubah menjadi cotan

Jika kita menggunakan 180 dan 360 maka konsepnya “TETAP”

sin tetap menjadi sin

cos tetap menjadi cos

tan tetap menjadi tan

Mari untuk menutup pembahasan ini kita coba dengan contoh berikutnya,

contoh 3 : Hitung nilai sin 150 ?

sin 150 —-> berada dikuadran II —-> pasti positif, jadi jawaban haruspositif

sin 150 = sin (90 + 60) = + cos 60 = +1/2 (positif setengah)  —–> ingat sudut 90 KONSEP “BERUBAH”

atau

sin 150 = sin (180 – 30) = + sin 30 = +1/2 (positif setengah) —–> ingat sudut 180 KONSEP “TETAP”

Read More

Cara menghafal jumlah dan selish sudut Trigonometri

Kali ini kita akan mempelajari bagaimana menghafalkan Jumlah dan Selisih sudut pada trigonometri, perhatikan gambar berikut :

Gambar diatas, kita sebut sebagai BATU BATERAI, liat ada tanda positif negatif, ibaratnya kutub positif dan negatif, dari gambar diatas ada sebanyak delapan rumus jumlah dan selisih trigonometri yang dapat diturunkan. Nah bagaimana cara menggunakan “BATU BATERAI” diatas, berikut penjelasannya :

Penjelasan dari BATU BATERAI kiri ke BATU BATERAI kanan,

LIHAT TANDA 1/2(+) dan 1/2(-) pada gambar BATU BATERAI kanan

C + C  —-> 2.C.C  ,artinya    Cos A + Cos B = 2.Cos 1/2(A+B). Cos 1/2(A-B)

C – C  —-> -2.S.S  ,artinya   Cos A - Cos B  = -2.Sin 1/2(A+B). Sin 1/2(A-B)

S + S  —-> 2.S.C   ,artinya    Sin A + Sin B    = 2.Sin 1/2(A+B). Cos 1/2(A-B)

S – S  —-> 2.C.S   ,artinya    Sin A - Sin B    = 2.Cos 1/2(A+B). Sin 1/2(A-B)

Penjelasan dari BATU BATERAI kanan ke BATU BATERAI kiri,

LIHAT TANDA (+) dan (-) pada gambar BATU BATERAI kiri

C + C <—- 2.C.C  ,artinya   2. Cos A. Cos B = Cos (A+B) + Cos (A-B)

Cos A. Cos B = 1/2 [Cos (A+B) + Cos (A-B)]

C – C <—- -2.S.S  ,artinya   -2. Sin A. Sin B = Cos (A+B) - Cos (A-B)

Sin A. Sin B = -1/2 [Cos (A+B) - Cos (A-B)]

S + S <—- 2.S.C  ,artinya   2. Sin A. Cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B)

Sin A. Cos B = 1/2 [Sin (A+B) + Sin (A-B)]

S – S <—- 2.C.S  ,artinya   2. Cos A. Sin B = Sin (A+B) - Sin (A-B)

Cos A. Sin B = 1/2 [Sin (A+B) - Sin (A-B)]

Rumus diatas juga bisa kita buat jembatan keledainya,

C + C  dibaca [Dua Cowok Bersama]  <=====> 2.C.C dibaca [Di (2) CuekinCewek]

C – C dibaca [Dua Cowok Berselisih] <=====> -2.S.S dibaca [Min Di(2)SiSihi]

S + S dibaca [Dua Sindikat Bersama] <=====> 2.S.C dibaca [Di(2) SiCat]

S – S dibaca [Dua Sindikat Berselisih] <====> 2.C.S dibaca [Di(2) CuekinSaja]

keterangan : kata “Di” artinya (2), ingat aja tumbuhan DIKOTIL, berkeping 2.

Semoga penjelasan diatas bisa membantu untuk memahami konsep  jumlah dan selisih sudut pada trigonometri.

Read More

Komposis Fungsi relasi Dan fungsi Invers

RINGKASAN TEORI

Fungsi Invers

Defenisi : Jika y = f(x) dan x = g(y) maka dikatakan g invers dari f, dan sebaliknya. Invers dari f (x) di tulis f ^-1(x). Jika f(x) o g(x) = 1, maka f ^-1(x) = g(x) dan g ^-1(x) = f(x)

RUMUS MASTER FUNGSI INVERS

KOMPOSISI FUNGSI

Defenisi : Suatu Fungsi f dengan daerah asal D_f dan daerah hasil R_f dan fungsi g dengan daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε D_g, y ε R_f dan y = f(g(x))} dimana D_g ∩ R_f ≠ Ø .

Contoh :

f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x² – 1,  maka

f o g (x) = 2 (x² – 1) + 5 = 2x² – 2 + 5 = 2x² + 3

g o f (x) = (2x+5)² – 1 = 4x² + 20x + 25 – 1 = 4x² + 20x + 24

Kata kunci :

#  f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x)

#  g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)

Beberapa hal penting :

# (f o g)(x) = h(x) maka f(x) = (h^-1 o g)(x) dan g(x) = (f ^-1 o h)(x)

# (f o g)^-1 = g ^-1 o f ^-1

# (f o g o h) ^-1 = h^-1 o g^-1 o f ^-1

RUMUS MASTER FUNGSI KOMPOSISI

TRIK MASTER UNTUK MENENTUKAN GRAFIK YANG MEMILIKI INVERS

Ciri Grafik yang mempunyai invers

Jika dapat dibuat garis mendatar hanya memotong disatu titik (untuk satu nilai y hanya menghasilkan nilai x ). Perhatikan gambar berikut :

Gambar (1) tidak memiliki invers karena dapat dibuat sebuah garis mendatar dan memotong kurva pada lebih dari satu titik.

Gambar (2) memiliki invers karena garis mendatar yang dibuat hanya memotong disatu titik.

Read More

Lingkaran

Kali ini kita akan membahas tentang Bab LINGKARAN yang merupakan pelajaran kelas XI SMA. Pada umumnya soal-soal yang akan keluar diujian berkaitan dengan pusat, jari-jari atau persamaan garis singgung lingkaran. Berikut hal-hal penting yang ada pada Bab LINGKARAN, silahkan disimak.

Bentuk Umum :

Jarak titik (p,q) terhadap garis :

Jarak dua titik misal  (x1,y1) dan (x2,y2) :

Kuasa titik terhadap Lingkaran :

Misalkan titik (p,q) , titik tersebut dapat berada di dalam Lingkaran, pada Lingkaran atau di luar Lingkaran.

Untuk mengetahuinya maka perlu di uji kuasa titik tersebut. Caranya : Subtitusi titik (p,q) ke persamaan Bentuk Umum Lingkaran, sehingga ditemui kondisi-kondisi berikut :

Kuasa garis terhadap Lingkaran

Misalkan terdapat garis  g : ax + by = c, garis tersebut bisa memotong, menyinggung , tidak memotong/menyinggung. Caranya :

# Ubah persamaan garis g : ax+by = c –> y = px +q

# Subtitusi  y = px +q pada lingkaran L

# Temukan bentuk persamaan kuadrat (PK)

# Hitung nilai Diskriminan (D) dari PK yang ditemukan, perhatikan kondisi berikut :

**Jika D < 0 maka garis g memotong Lingkaran

**Jika D = 0 maka garis g menyinggung Lingkaran

**Jika D > 0 maka garis g tidak memotong / menyinggung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung  Lingkaran (PGSL)

Diketahui titik (p,q). Subtitusi titik (p,q) ke lingkaran L, jika

PGSL untuk Titik (p,q) pada lingkaran , maka persamaan garis singgungnya :

PGSL untuk Titik (p,q) di Luar lingkaran , maka persamaan garis singgungnya :

Untuk setiap bentuk umum persamaan lingkaran langkahnya :

# Cari dulu garis polar dengan cara subtitusi (p,q) ke (x1,y1), seperti berikut :

# Ubah persamaan garis polar menjadi y = px + q

# Subtitusi garis polar ke persamaan bentuk umum lingkaran, berikut :

# Temukan persamaan kuadrat dalam bentuk x atau y

# Temukan akar-akar x₁ dan x₂, dapatkan juga y₁ dan y₂ sehingga diperoleh (x1,y1) dan (x2,y2). Dua titik ini merupakan titik singgung pada lingkaran

# Subtitusi  (x1,y1) dan (x2,y2)  ke persamaan bentuk umum lingkaran, seperti mencari PGS untuk titik pada Lingkaran. Diperoleh dua persamaan garis singgung.

Ilustrasi untuk PGS titik di luar lingkaran, sbb :

PGSL untuk yang diketahui gradient (m) dan titik pusat (p,q), maka persamaan garis singgungnya adalah

Keterangan :

m= gradient

r = jari-jari lingkaran

(p,q) = pusat lingkaran

Demikianlah ulasan singkat mengenai Bab LINGKARAN, Semoga bisa membantu

Read More